序贯分配法在井下水准测量平差中的应用

单世铎张华海李世金

（1.江苏建筑职业技术学院，江苏 徐州221008;2.中国矿业大学环境与测绘学院，江苏 徐州221116）

0 引 言

井下煤矿开采是一项高风险的工作，而对井下采矿工程进行测量则能帮助矿产企业准确预测风险，进而规避风险，同时还能为井下采矿作业人员的人身安全提供可靠保障[1]。但是，井下测量作业条件非常艰苦，如何准确、高效地完成井下工程测量则对于矿产企业及作业人员都有非常重要的意义。对于井下水准测量[2-3]，其数据处理中常用的方法有条件平差法[4-8]和间接平差法[9-11]，由于其计算复杂度较高，在实际井下测量过程中往往会带来不可避免的麻烦。因此，本文引入一种高效、准确的具有迭代性质的分配闭合差法，并选择井下工程测量中经常遇到的水准测量网进行实际数据案例计算。计算结果表明，在一定精度要求情况下，有限次数的分配闭合差法能够达到条件平差法的效果;且分配闭合差法计算简单易学，特别适合在井下作业中应用。

1 水准测量中条件平差基本原理

水准测量条件平差法以高差观测值L的改正数V与闭合环高差闭合差（或已知点间附合高差闭合差）W之间的关系为条件，依据最小二乘法原理进行平差，具体计算过程[12]如下:

（1）条件方程为:

式（1）—（2）中，W表示条件方程式的闭合差向量，L为观测值向量，A为系数矩阵，A0为常数向量，V为改正数向量，设条件方程式的系数为a ij，写成纯量形式为:

（2）法方程:

（3）计算改正数V i和平差后值

（4）评定精度——单位权中误差

式（7）中，r为条件方程式个数（多余观测个数）。

（5）条件平差中的注意事项

①计算前应绘制水准网平差略图:在图上标明各已知点、待定点的点名与编号，高差观测值及路线长等信息;② 确定条件方程个数。条件方程式要互相独立（线性无关）且足数（等于多余观测个数）。

2 条件平差与分配高差闭合差法在简易水准路线中的对比

对单一闭合或附合水准路线的条件平差，其实际上是将闭合差对高差进行权分配，即按各高差路线长成正比分配闭合差，然后计算各个待定点的高程。而对于两个或三个以上的闭合环，其条件平差与逐环分配闭合差法的对比如下。

（1）按条件平差法进行平差计算

如图1所示，1为已知高程点，2、3、4、5、6分别为待定高程点。为了简化计算，设各测段路线长均为1 km，各高差单位为m，高差闭合差单位为mm。高差闭合差W1=―8.9 mm，W2=6.5 mm，列出两个改正数条件方程式后，组成法方程，解算两个联系数:

K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67

K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。

图1 两个闭合环水准网

依据式（6）计算各高差改正数，计算改正后的高差以及各点高程（表1）。

表1 逐环分配闭合差法与条件平差法结果比较

（2）按逐环分配闭合差法进行平差计算

如图1所示，逐环分配闭合差计算过程如表2所示。表2中各高差单位为m，高差闭合差单位为mm。

计算步骤如下。

① 首先计算第一环闭合差（-8.9 mm）并进行分配。公共边3→4分配后的高差为9.255 225 m，参与第二环闭合差的计算。

② 计算第二环闭合差（8.725 mm）并进行分配。公共边3→4分配后的高差为9.253 044 m，参与第一环计算二次闭合差。

重复上述步骤，分别进行三次分配闭合差迭代处理。

三次分配计算后的高差与条件平差值之差小于0.01 mm（表2）。

表2 两个闭合环逐环分配闭合差计算法

三个闭合环用逐环分配闭合差法进行平差计算，其计算方法与上述数据例类同。通过数据例计算，三次闭合差分配后，其高差值与条件平差值相差小于0.01 mm。因篇幅所限，文中不再列出。

两个或三个以上闭合环的水准网是井下工程测量中常用的网型。通过对比可知，对于两个或三个以上闭合环的水准网，逐环分配闭合差3次后，所得结果与条件平差法比较，其差值小于0.01 mm。

3 田字型水准网按逐环分配闭合差法计算案例

如图2所示，由于井下巷道的开凿，其伴随着巷道的田字型水准网测量是常用的井下高程测量方格网，图2中，1为已知高程点，2—9为待定高程点。从已知点开始，闭合环高差指向分别为顺时针、逆时针、顺时针、逆时针方向，相邻闭合环之间的公共高差箭头指向一致。设各测段路线长均为0.50 km，各测段高差值如下所示（表3），各高差单位为m，高差闭合差单位为mm。其相对应的计算步骤依次为:

（1）计算第1环的闭合差并进行分配

因设各段路线长均为0.50 km，且其闭合差为W1=4.0，故各高差改正数为:V1=V2=V3=V4=-W1/4=-4.0/4=-1.0（mm）

（2）计算第2环的闭合差并进行分配

在第1环闭合差分配后，相邻高差得到改正，再计算第2环的闭合差，其数值为W2=5.0。

同样，设各段路线长均为0.50 km，故各高差改正数为:V5=V6=V7=V8=-W2/4=-5.0/4=-1.25（mm）

（3）对第3环的闭合差进行分配

第3环的闭合差也是在第1环相邻高差改正后计算的闭合差，其数值为:W3=6.0。

同样，设各段路线长均为0.50 km，故各高差改正数为:V2=V8=V9=V10=-W3/4=-6.0/4=-1.5（mm）

（4）对第4环的闭合差进行分配

第4环的闭合差是在第2环、第3环相邻两个高差改正后计算的闭合差，其数值W4=0.25。

同样，因设各段路线长均为0.50 km，故各高差改正数为:V7=V8=V11=V12=-W4/4=-0.25/4=-0.062 5（mm）

（5）重复1—4步骤，逐环逐次分配各环闭合差。

经3次分配闭合差后，高差改正数之和与条件平差法改正数值之差小于0.02 mm。如以h1为例，3次改正数之和为-0.234 5，条件平差结果为-0.22。公共边高差改正数取相邻环高差改正数之和，如以h3为例，3次改正数之和为-0.234 5-1.445 0=-1.679 5，条件平差结果为-1.67，其差值小于0.01 mm。当经过4次闭合差分配迭代处理后，其结果精度更高。

图2 田字型水准网

表3 田字型水准网逐环分配闭合差法计算表（仅列出3次分配）

若有两个已知高程点，以三个闭合环两端各有一个已知高程点的水准网为例，按条件平差法，需要列出4个改正数条件方程式，组成法方程后解算4个联系数，计算高差改正数。而逐环（包括两个已知点间的附合条件闭合差）分配闭合差，经4次分配后，高差改正数与平差计算结果比较，同样能满足精度要求。

4 逐环分配高差闭合差法理论分析

单一闭合环分配闭合差法与条件平差法的处理结果是一致的，在第2节中已得到阐述。下面针对含有两个或三个以上闭合环的复杂水准网测量数据在处理过程中，采用逐环分配闭合差法与条件平差的数据结果进行理论分析。

4.1 两个闭合环逐环分配闭合差法与条件平差法

（1）采用条件平差法

对于图1所示的两个闭合环条件平差，列出高差改正数条件方程后，组成法方程，解算联系数，计算高差改正数。在本文第2节中已经给出:K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67，K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。高差改正数按式（6）计算，因为各高差的权皆为1，所以h1、h2、h3的改正数结果就是K1，h5、h6、h7的改正数就是K2，公共边高差h4的改正数则是K1+K2=0.48。

（2）采用逐环分配闭合差法

①h1（h2、h3类同）的改正数3次累计为:V1=―4W1/15.003 66+W2/15.058 82

将W1、W2数据代入后得:V1=2.804 394 5;

②h5（h6、h7类同）的改正数3次累计为:V5=―4W2/15.003 663+W1/15.003 663

将W1、W2数据代入后，V5=―2.326 099;h4的改正数是V1+V5:V4=0.478 3，与条件平差结果之差小于0.002。

③h1、h2、h3的 改 正 数 4 次 累计为:V1=―4W1/15.00 366+W2/15.058 82=2.806 62

④h5、h6、h7的改正数4次累计为:V5=―4W2/15.000 228 89+W1/15.003 66=―2.326 50

h4的改正数是V1+V5:V4=0.480 1，与条件平差结果之差小于0.000 1。

对于两个闭合环的水准网，在环闭合差满足规范要求条件下，逐环3次分配闭合差已能够满足精度要求。从改正数的累计计算公式也可以看出，计算公式实际上是一种迭代计算式，按照其规律，不难写出4次、5次闭合差分配计算公式，其对应的结果精度也更高。

4.2 多个闭合环逐环分配闭合差法与条件平差法

以井下田字型水准网为例，对多个闭合环采用逐环分配闭合差法与条件平差法的比较进行理论分析。

（1）田字型水准网采用条件平差法

以上述图2田字型水准网为例，列出高差改正数4个条件方程后，组成法方程，解算4个联系数，计算高差改正数。联系数计算公式如下:

从联系数计算公式的规律可以看出，每个闭合环对应的联系数计算式右边第一项为该环闭合差的约1/4，相邻环闭合差的1/12，对角环闭合差的1/24。

（2）田字型水准网采用逐环分配闭合差法

仅以h1为例，分别计算第1、2、3、4次改正数，然后相加，与条件平差结果比较:

四次改正数之和:

与条件平差K1比较，公式右边各项符号一致，系数值相近:

K1=―0.291 67W1+0.083 33W2+0.083 3W3―0.041 67W4=―0.208 333

两者相差小于0.01 mm。

5 结 语

（1）本文对井下工程测量中经常遇到的水准测量网，采用逐环分配闭合差的方法进行数据处理，并与条件平差法进行对比，通过大量实例计算验证及理论分析，表明逐环分配闭合差法对水准网进行数据处理是一种简便、实用和行之有效的数据处理方法。

（2）实际应用中需要注意的是:① 分配闭合差计算之前，应先计算水准网中各个环的高差闭合差，在符合水准测量规范规定的要求下再采用逐环按权倒数（或路线长）进行分配闭合差的计算;② 注意相邻闭合环的闭合差计算方向与公共高差指向一致，且前一环闭合差分配后的公共边高差用于后一环的闭合差计算;③ 一般经3—4次分配后达到预期的效果;④ 对各次改正数求和作为最后的改正数，继续计算单位权中误差，计算改正后的高差和各待定点高程;⑤对于一条水准路线上有多个水准点的水准网，可以合并为一条单一的水准路线，多条水准路线构成仅含有结点的水准网，按上述方法最后求出各结点的高程后，各单一水准路线再进行分配闭合差计算。