基于稳健加权总体最小二乘的点云数据圆柱面拟合

刘支亮李明峰陆建华

（1.苏州市测绘院有限责任公司，江苏 苏州215006;2.南京工业大学测绘科学与技术学院，江苏 南京211816）

0 引 言

在逆向工程、工业检测和工程测量中，圆柱面的拟合问题十分常见[1]。三维激光扫描技术突破了传统单点测量模式[2]，与传统圆柱面拟合数据获取手段相比，三维激光扫描能够快速获取大量点云数据。通过圆柱面点云坐标数据的拟合处理，可得圆柱面在空间直角坐标系中的几何方程。根据圆柱面的几何关系，仅考虑观测向量的随机误差，采用最小二乘（Least Squares，LS）原理，构建经典的Gauss-Marko模型计算几何参数是最常用的拟合算法[3-5]。实际上，受仪器、扫描环境和人员等因素影响，圆柱面拟合平差模型中所有观测值都含有随机误差，即观测向量与系数矩阵均存在误差，这类模型称为EIV（Errors-In-Variables）模型[6]。总体最小二乘（Total Least Squares，TLS）法除了考虑观测值误差，还顾及系数矩阵的误差，能够得到EIV模型的最优估计[7-9]。加权总体最小二乘（Weighted TLS，WTLS）法[10]进一步考虑了观测值点位精度的差异，并根据一定准则赋予权值参与求解，从而获得更为可信的参数解。袁庆等[11]基于点位精度赋予权重，通过WTLS方法解算点云数据平面拟合参数。陈玮娴等[12]将WTLS方法应用于激光扫描球型标靶的拟合，根据点云激光回波强度特性确定先验权，提高了参数解的精度。本文根据点到圆柱面的距离与点位精度的相关性，提出顾及距离的WTLS算法，即在迭代时自适应修正观测值权，使得权值的确定更加可靠。同时，由于获取的点云数据中不可避免存在粗差点，故以3倍距离标准差为阈值，剔除粗差点，构造稳健的加权总体最小二乘（Robust Weighted TLS，RWTLS）圆柱面拟合算法，并通过实例数据验证算法的有效性。

1 圆柱面拟合数学模型

圆柱拟合参数包括大小参数和定位参数。大小参数由圆柱的半径决定，所以圆柱面的标准方程x2+y2=r2只有一个半径参数;定位参数由圆柱中轴线的位置和姿态参数两部分构成。结合圆柱的标准坐标系与测量坐标系之间的关系，圆柱面的定位参数实质上就是两个坐标系的坐标转换参数，中轴线位置参数即坐标系的平移参数，姿态参数即坐标系的旋转参数。

圆柱标准坐标系与测量坐标系之间的转换关系为:

由于标准坐标系在xoy平面内投影是一个圆，x轴与y轴方向不需要严格指定，只需两个旋转参数εX、εY就能实现姿态参数的确定，此时εZ=0，z轴指向天顶方向。另外，标准坐标系的原点可为中轴线上任意一点，即只需两个平移参数就可以确定位置，文中令。那么，原来所需求取的7个参数，实际只需要求取ΔX、ΔY、εX、εY、r共5个参数。

结合式（1），可构造目标函数为:

式（2）中，r为 圆 柱半 径 （r＞ 0），R=，且

将式（2）在近似值（ΔX0、ΔY0、（εX）0、（εY）0、r0）处以泰勒级数展开，舍去二阶及以上项，有:

则根据最小二乘原理，可列误差方程为:

式（4）中，ξ表示参数向量的改正值，ξ=，V L表示观测值误差向量，B为系数矩阵，B=，L为观测向量，

选取合适的参数初始值，求解参数向量改正值ξ，利用上次得到的参数近似值，加上本次迭代的ξ，作为新的近似值，重新计算ξ。经迭代收敛，最后得到5个参数的最佳估值，进而可得圆柱方程。

2 RWTLS算法拟合圆柱面

2.1 WTLS算法基本原理

顾及系数矩阵的随机误差，建立系数矩阵与观测向量均含有误差的EIV模型，误差方程为:

设观测值误差向量和系数矩阵误差向量服从的如下分布:

式（6）中，vec（·）表示矩阵的拉直变换，V L和vec（V B）分别为观测值和系数矩阵的误差向量，Q L、Q B为对称阵，Q L为观测值的协方差阵，且Q L，系数矩阵的协因数阵Q B可以用行矩阵和列矩阵表示:

加权总体最小二乘估计准则为:

其中，v B=vec（V B）。

2.2 权阵的定义

激光点与对象越贴近，表明测量精度越高，两者的相关性越强;反之，则说明受其他因素干扰较多，两者相关性较弱[13]。因此，可通过激光点到圆柱面的距离确定该点的权重。根据标准圆柱方程，由式（9）计算各点到圆柱面的距离。再按式（10）将距离转换成[0，1]的数值，并将其作为各点对应的权值P i。

式（9）—（10）中，D i为点到圆柱面的距离，max（D i）为点到圆柱面距离的最大值，δ为预设的一个小数值，通常取10-6，使P i不为0。那么，考虑每个点的点位精度差异，有系数矩阵B的行向量和观测向量L权阵为。假设待求圆柱面拟合参数相互独立，则系数矩阵的列向量权阵为单位阵，即P0=I5。

2.3 RWTLS求解及精度评定

利用Lagrange乘数法，可构造Lagrange目标函数为:

式（11）中，λ为Lagrange乘数子列向量。基于选权迭代[14]的思想，利用Schaffrin B等[10]，[15]的求解算法，以3倍标准差作为阈值剔除粗差点，构造一种RWTLS算法。算法迭代计算步骤如下:

（1）由TLS解作为圆柱参数估值，计算点到圆柱面的距离，得到系数矩阵行向量和观测向量的初始权阵

（2）计算RWTLS迭代初始值:

（3）利用前一次得到的参数近似值，加上本次的ξ（i）作为新的拟合参数近似值，更新误差方程系数矩阵B和观测向量L，依据2.2节中权阵定义，更新权阵和

（4）迭代更新相关值:

（5）计算ξ（i+1）:

（6）由式（15）计算点到圆柱中轴线的距离与圆柱半径的较差d i、均值和标准差:

此时，圆柱面拟合单位权中误差估值和拟合精度为:

3 实例分析

利用Leica ScanStation C10三维激光扫描仪对苏州市太平天国忠王府某圆形立柱进行扫描，经配准、去噪等预处理后，得到完整的圆柱面点云。通过简化降低点云数据量，获得实验的原始点云数据（图1）。分别利用LS、TLS、WTLS、RWTLS算法对圆柱面点云数据拟合，计算圆柱面拟合精度（表1）。

图1 圆柱面点云数据分布图

表1 点云数据拟合精度结果

由表1可知，几种算法得到的最终拟合参数结果较为接近。RWTLS算法的单位权中误差明显优于LS、TLS和WLTS算法，分别相对提高了45%、45%和27%。在圆柱面拟合精度方面，RWTLS算法比WTLS、TLS和LS算法精度更高，拟合效果最好。圆柱面拟合时，迭代过程直接解算的是参数向量改正值，数值上非常小，所以TLS算法与LS算法的单位权中误差几乎一致。WTLS算法顾及距离自适应调整权阵，具备一定抗差能力，单位权中误差优于TLS算法。由于点云数据中粗差的存在，自适应权阵无法反映在计算拟合精度中，使得WTLS解算的拟合参数精度反而低于TLS算法。而RWTLS算法除了能自适应修正权值，还能探测剔除粗差，可获得更可靠的参数解，其拟合得到圆柱面的标准方程为x2+y2=0.023 313 7。

为说明本文算法的正确性，利用田晓等[5]的全站仪观测数据进行验证，得到ΔX=107.176 75 m，ΔY=225.396 40 m，εX=0°7'16.597 67″，εX=0°5'28.252 83″，r=0.124 08 m，拟合精度（即圆度的标准差[16]）为0.53 mm，远优于田晓等得到的0.92 mm。结果表明，本算法是有效的，且优于传统算法。

4 结 语

（1）针对圆柱面点云数据的特点，根据圆柱面拟合的数学模型，提出了RWTLS圆柱面拟合算法，较好地顾及了不同扫描点精度的微小差异，削弱了异常值对圆柱面点云数据拟合的干扰，且可任意选取参数初始值。

（2）经过工程实例数据计算，证明了在圆柱面点云数据拟合中RWTLS算法能有效避免粗差影响，得到准确可靠的拟合参数，拟合效果优于传统算法。尽管实例的圆形柱体近似垂直于地面，但算法亦适用于大旋转角情形的柱体拟合，具有较强的工程应用价值。

（3）RWTLS解算的迭代过程较为繁琐，且收敛速度较慢，如何优化先验定权的规则提高运算效率有待进一步研究。