一道奥数题的解法分析及其本质探究

徐瑞阳

【摘 要】初中奥数学习有助于帮助我们增加对数学学习的兴趣，提升数学学习能力和思考能力。对我们自身的分析解决能力也是一种锻炼。因此在中学阶段，作为学生，我们要对奥数学习引起足够的重视，为将来的高中数学学习、大学的高等数学学习打下良好的基础。本文主要根据一道奥数题来分析讨论其解答方案和本质研究。

【关键词】奥数；解法分析；本质研究

【中图分类号】G633.6 【文獻标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0076-01

在奥数的所有题型中，几何题型是最常见的题型。几何题型的解题技巧和思维培养对我们初中生来说都非常重要。本文以平时经常做的一道例题为例，分析解题技巧和解题思路。

原题：点D、E分别为BC、AC上的一点，AD与BE交于F点，已知BD/DC=0.5，CE/EA=2/3，求AF/FD的值。

本题是奥数题型中的求比值问题，是奥数比赛中的真实试题。这道题全面的考核了我们平面几何的相关内容，通过不同的解题方法都可以得到正确的答案。

解法一：我们应该想到在这道题中可能用到的理论知识，如三角形内角和边长的比值存在一定关系，或者三角形面积和边长有一定联系。在已知条件中，两条线段的比值不具有特殊意义，因此运用转化思想，将其转化成面积或者角度进行分析，就会得到解题思路。我们需要先连接CF两点，设三角形BFD面积为1，三角形CEF面积为4a，因此可以得到：

因为，BD/DC=0.5，CE/EA=2/3，所以，三角形CDF的面积=2，三角形AEF的面积=6a，三角形ABF的面积为5a；所以，三角形ABF的面积/三角形BCF的面积=5a/3=2/3所以，a=9/10；所以AF/FD=5a/1=9/2。

分析研究：此方法是根据三角形面积的比值方式求出未知数a，假设方法在几何图形计算中应用最为广泛，也是最简便的解题方法。在解题过程中，要正确的选择可用的三角形，要和已知条件相关，才能够一步步推理出正确答案。

解法二：如果不用假设面积的方法，可以利用三角形面积比值，根据线段AF相关的三角形来分析对应的面积比值。但是在对三角形进行分析时，可以连接相应的辅助线，可以构造出更多的相关三角形。这样可以排除假设过程中对假设对象的不理解。我们平时在解决几何图形问题中，往往会很难理解假设成一个数值的方法。因此，直接用三角形比值能够更加直观清晰。

连接DE线段，构造出三角形DEF，因为，AF/FD=三角形ABF面积/三角形BDF面积=三角形AEF面积/三角形DEF面积，所以，（三角形ABF面积+三角形AEF面积）/（三角形BDF面积+三角形DEF面积）=三角形ABE面积/三角形BDE面积。又因为，BC/BD=三角形BCE面积/三角形BCE面积=3，AE/CE=三角形ABE面积/三角形BCE面积=3/2，所以，AF/FD=三角形BCE面积/三角形BDE面积×三角形ABE面积/三角形BCE面积=三角形ABE面积/三角形BDE面积=9/2。

分析研究：此解题方法主要运用的数学理论知识是三角形面积之比等于同高不同底的比，因此，简化了AF/FD值的计算。

解法三：利用平行关系能够清晰的找到比例对应关系。

在几何图形中找到BE的平行线，过D做BE的平行线交于AC于点P，此时，DP平行BE，所以，BC/BD=EC/EP=3，DF/AF=EP/AE，所以，BC/BD×DF/AF=EC/EP×EP/AE，因此，3×DF/AF=EC/AE=2/3，所以，AF/FD=9/2。

分析研究：平行线知识在奥数解题中也非常常见，我们应该抓住解题中的关键点，利用所学的理论知识，解答出正确答案。这道题的这种解法是用线段之比换算成构造线的线段之比，这样将已知的值转化成未知的值，可以简化题目要求。

解法四：利用垂足的知识点也能够解答此题，可以过D/A/C点分别做BE的垂线，交BE于G/H/I点，因为，DG垂直BE，AH垂直BE，所以，AF/FD=DG/AH，CE/AE=CI/AH=2/3，BD/BC=DG/CI=1/3，所以，AF/FD=DG/AH=（3CI/2）/（1CI/3）=9/2。

分析研究：已知的线段之比转化为三角形的高的比，所以需要借助三角形的高度作为辅助线，这样更容易找到解题的突破口，因此，在这道题的解题中，对这种方法进行应用更加简便、快捷。

综上所述，我们在初中数学的学习过程中，学习的理论知识非常多，将其更好的应用在数学解题过程中是学好数学的关键。奥数是初中数学的拔高课程，它能够在初中数学的基础上提升我们的数学学习能力和逻辑推理能力，因此数学的理论知识也是奥数解题的关键。