例谈解析几何中最值范围问题的处理

林木垚

【摘 要】解析几何中的最值参数问题是高考中的常考内容，综合性较强，需要较强的代数运算能力和图形认识能力。在运算过程中要注意思维的严密性，同时还要注意函数与方程的化归与转化思想的应用。本文提出了圆锥曲线中的最值范围问题可分为两大类：一是求直线与圆锥曲线中的几何元素的最值范围以及与之相关的问题；二是涉及距离、面积、向量等的最值范围以及与之相关的一些问题。

【关键词】目标函数；距离；面积；参数；最值范围；几何元素

【中图分类号】G633.65 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0062-03

在每年的高考中，解析几何是高考命题的热点和难点。解析几何综合问题命题趋向是老师、学生所关注的点。解析几何中常涉及到定点、定值、对称、最值范围、存在性等问题。本文主要针对最值范围的解题策略进行讨论。从我们近5年的全国课标Ⅰ卷理科来看，2013年解析几何解答题中涉及到长度的最值，2014年解析几何解答题题中涉及到三角形面积的最值，2016年解析几何解答题题中涉及到四边形面积的范围，2017年解析几何选择题中涉及到距离的最值问题。因此，最值范围问题在上述几个问题中显的尤为突出。解析几何中的最值范围问题主要有两大类型，一是求直线与圆锥曲线中的几何元素的最值范围以及与之相关的问题；二是涉及距离、面积、向量的最值范围以及与之相关的一些问题。涉及到几何元素的最值问题大多是采用几何法，利用相关的曲线的性质及平面几何知识求出最值或范围。涉及到距离、面积、向量等最值范围主要是采用代数法，通过图形我们无法观察出在什么样位置会取到最值；只能去求出距离、面积、向量这些问题的“目标函数”，然后再去求“目标函数”的最值，这就涉及到求函数值域常用的一些方法，比如求导法、函数单调性、不等式法等。本文主要针对第二类涉及到距离、面积、向量等最值范围问题介绍其处理策略，以供大家分享。

类型一：距离的最值范围

例1：【2017全国1理科】已知F为抛物线C：y2=4x的焦點，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于C、D两点，

则|AB|+|DE|的最小值为

A.16 B.14 C.12 D.10

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线l1：y=k（x-1）

联立方程得

k12x2-2k12x-4x+k12=0

∴x1+x2=- =

同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=

由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p

= + +4

= + + 8≥2 +8=16

当且仅当k1=-k2=1或k1=-k2=-1时，“=”成立。

点评：此题涉及到抛物线的定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握。考查到最值问题，首先要先求出 “目标函数”，然后再去求目标函数的最值，注意目标函数自变量的选择，再求最值过程中应用到基本不等式求最值得方法。

另外此题还可以选用直线的倾斜角α为“目标函数”的自变量，利用弦长公式去求解，

类型二：面积的最值范围

例2：【2014全国1理科】已知点A（0，2），椭圆E： + =1（a>b>0）的离心率为 ；F是E椭圆的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点

（I）求E的方程；

（II）设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点。当△OPQ的面积最大时，求的直线l方程.

解析：（I）略，E的方程为

（II）易知l⊥x轴时，不满足条件，因此设直线l ：y=kx-2 P（x1，y1）、Q（x2，y2）

联立方程 得（1+4k2）x2-16kx+12=0

∴ x1+x2= x1x2=

∴△=256k2-48（1+k2）>0 ∴k> 或k<-

又∵点O到直线lPQ ：kx-y-2=0的距离d=

所以ΔOPQ的面积

设t= （k> 或k<- ），则 t<0

∴

∵ ≥ 当且仅当t=2时，k=± 时取等号，且满足Δ>0。

所以，当ΔOPQ的面积最大时，l的方程为y=x-2或y=- x-2。

点评：本题涉及到直线与椭圆相交，通过求三角形边长（弦长）、三角形的高（点到直线距离），从而求出三角形面积的“目标函数”，是一个以k自变量的函数f（x）利用一元二次方程根的判别式确定自变量k的范围。然后令t= 进行换元，再利用均值不等式法求出函数的最值。

例3：【2015山东理科】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2为圆心以3为半径的圆与以F1为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆，P为椭圆C上任意点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO 交椭圆E于点Q。

（i）求的值：（ii）求ΔOPQ面积的最大值。

解：（Ⅰ）略 椭圆C的标准方程为 +y2=1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为 + =1 ，

（i）设P（x0，y0），=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）因为+y02=1，又+ =1，即，所以λ=2，即=2。

（ii）设A（x1，y1），B（x2 ，y2）

将y=kx+m代入椭圆E的方程，

可得（1+ 4k2）x2+8kmx+4m2-16=0

由Δ>0，可得m2<4+16k2…………①

则有x1+x2=- ，x1x2=

所以|x1-x2|=

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m）

所以Δ0AB的面积

S= |m||x1-x2|=

=

= 2

令t=，将y=kx+m 代入椭圆C的方程可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0

由Δ≥0，可得m2≤1+4k2…………②

由①②可知0

因此S= = ，故S≤2

當且仅当t=1， 即m2=1+k2 时取得最大值2

由（i）知，ΔOPQ 面积为3S ，所以ΔOPQ 面积的最大值为 6 。

点评：本题意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力。利用第二步第一小题的结论把求ΔOPQ 面积转化为求ΔOPQ 面积，简化计算。再求ΔOPQ 出面积的表达式时，表达式里面涉及到两个参数M，k，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键。令t=，求出“目标函数”，再利用二次函数求其最值；求解最值过程如何求出新变量t的范围至关重要。

类型三：与向量有关的最值范围

例5：【2015高全国1理科】已知M（x0，y0）是双曲线C：-y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若 <0， 则y0的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

解：由题可知 F1（- ，0）、F2（ ，0）

- y2=1

∴ =（-- x0，-y0 ）（- x0，-y0 ）

= x02+y02-3=3y02-1<0

∴-

点评：本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点M坐标的函数，利用点M在双曲线上，消去x0，根据题意化为关于的不等式，即可解出y0的范围，将的“目标函数”表示为y0的函数是解本题的关键.

解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结构能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起“目标函数”，再求这个“目标函数”的最值，这就是代数法。在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数值域的求法，确定参数的取值范围。解析几何中的最值参数问题是高考中的常考内容，综合性较强。需要较强的代数运算能力和图形认识能力，在运算过程中要注意思维的严密性，同时还要注意函数与方程的化归与转化思想的应用。