这样的直角三角形存在吗？

岳昌庆

对于任意的△ABC，如图1，设BC=a，AC=b，AB=c，△ABC内切圆的圆心为I，半径为r，⊙I与AB，BC，AC分别切于D，E，F，则ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，ID=IE=IF=r，联结IA，IB，IC，则S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC=12rc+12ra+12rb=12r（c+a+b），

不妨设△ABC的周长为C，面积为S，则S=12rC.

对于Rt△ABC，∠C=90°，我们有S=12ab.

由于a>0，b>0，a2+b2≥2ab，

a+b =（a）2+（b）2-2ab+2ab=（a-b）2+2ab≥2ab（当且仅当a=b时，取等号），

所以

一方面，C= a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab=（2+2）2S

=2（2+1）S（当且仅当a=b，即△ABC为等腰直角三角形时，取等号）.

另一方面，由于S=12rC，C≥2（2+1）S，则

r=2SC≤2S2（2+1）S=（2-1）S.

称C≥2（2+1）S为①式，称r≤（2-1）S为②式.

由①得S≤C2（2+1），由②得S≥r2-1，

所以r2-1≤S≤C2（2+1），

即C≥2（3+22）r. ③

例1 Rt△ABC的面积S=3，周長C=2，则该直角三角形的内切圆半径r= .

错解 由已知及三角形的面积公式得S=12rC，即r=2SC=3.

上述解法似无破绽，实则非也：这样的直角三角形不存在！

错解的原因 此题S=3，C=2，

一方面，C =2≤2（2+1）S=2（2+1）3≈8.4，不满足C≥2（2+1）S，

所以，这样的直角三角形不存在.

另一方面，若r=3≥（2-1）S=（2-1）3≈0.7，则不满足r≤（2-1）S，

所以，这样的直角三角形不存在.

评注 对于Rt△ABC，在已有公式r=2SC的情况下，命制题目时也一定要考虑其存在性问题.建议在上述结论（即C≥2（2+1）S①，r≤（2-1）S②及C≥2（3+22）r③）的前提下命制题目；也可就着一个已经存在的直角三角形来命制，如：边长分别为8，15，17（C=40，S=60，r=3）的直角三角形，以规避图形的存在性问题.