积极联想 发散挖掘

郑学涛　郭焕

1 例题呈现

（2018年山东临沂中考25题）将矩形ABCD绕A点顺时针旋转α（0°<α<360°），得到矩形AEFG，

（1）如图1，当点E在BD上时，求证：FD=CD；

（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形并说明理由.

图1 图22 题目解答

当点E在BD上时，∠AEF=90°，所以∠DEF+∠AEB=90°，又因为AE=AB，所以∠AEB=∠ABE，∠ABE+∠CBD=90°，可得∠DEF=∠CBD，而证明线段相等最常用的方法为证明这两条线段所在的三角形全等，故想到构造一个与Rt△BCD全等的三角形，而且这一组全等三角形还要为∠DEF=∠CBD为对应角，自然想过延长GF，交BD的延长线于N，则可证Rt△BCD≌Rt△EFN，再证FD=FN即可得FD=CD；对于第（2）问，要保证GC=GB，则G点一定在线段BC的垂直平分线上，因此首先尺规作图得到图3和图4，当α分别为60°（图3）和300°（图4）时，有GC=GB，且两图待证结论都可通过连接DG证明△DGC≌△AGB得到.图3 图43 积极联想，发散挖掘

3.1 以题联题

无独有偶，2018年江苏无锡中考数学的27题以几乎同样的问题背景设置了两个问题，这两个问题与临沂25题具有异曲同工之妙，联合起来不但使问题类型更既丰富，而且增加问题的趣味性.图5

如图5，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，经此矩形绕B点顺时针方向旋转θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在直线CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕B点顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在直线BC的延长线上，设A2B与CD交于E，若A1EEC=6-1，求nm的值.

解 （1）过A1向AB作垂线，可得∠A1BA=30°，点D到点D1所经过路径为弧，其所对的圆周角为∠A1BA，半径为2，求得路径长度为π3；

（2）因为A1EEC=6-1，所以A1CEC=6，可证△BCE∽△BAD，则BCAB=CEAD，即CE=n2m，则A1C=6n2m，在Rt△A1CB中，根据BC2+A1C2=A1B2得n2+（6n2m）2=m2，解得m=3n，nm=33.

3.2 探究更加一般的中点图6

对于临沂中考第（1）问，当点E在BD上时，有CD=DF，且此时C、D、F三点共线，也即D为CF中点，而更一般的结论应为：当0°<α<360°时，直线BE交线段CF于M，则M是CF的中点，仅当点E在BD上时，点D与点M重合，如图6，其证明如下：过F作FQ∥BC交直线BE于Q点，继而可证△BCM≌△EFQ，可得CM=FQ，再证MF=QF，即可得CM=MF.

3.3 探究线段之间的位置关系

在3.2问的基础上，连接AM，则AM和CF具有怎样的位置关系？

AM⊥CF，连接AC和AF，可得AC=AF，则△ACF是等腰三角形，根据三线合一可得AM⊥CF.

3.4 探究最大最小值

设AB=m，BC=n，当α分别为何值时，CF取得最大和最小值？若设矩形ABCD对角线交于P点，连接PF和PE，则△PFE面积的最大值和最小值是多少？

其实E点在以A为圆心，AE为半径的圆周上运动（不与B重合），而C为定点，根据两点之间线段最短，当C、A、E三点共线且E在A线段AC上时，CE取得最小值为m2+n2-m，此时PE⊥PF，则△PFE的面积取得最小值，为2mn-nm2+n24，α=arctannm，当C、A、E三点共线且E在线段AC延长线上时，CE取得最大值为m2+n2+m，此时PE⊥PF，则△PFE的面积取得最大值，为2mn+nm2+n24，α=180°+arctannm.对a和b赋予特殊的值，初中生就可以求解了.

3.5 变转动为滑动图7

当AB=m，BC=n时，E是线段BC上一动点，连接AE作矩形AEFG，使G恰好落在射线CB上，延长DC到H并连接CF，如图7，∠FCH的大小发生变化吗？如果不变，请用m、n的代数式表示其正切函数值.

∠FCH是个定值，过F作FQ⊥CH，垂足为Q，可证△ABG≌△EQF，故EQ=AB=CD，所以CQ=DE，又因为△ADE∽△ABG，所以ADAB=AEAG=AEEF=nm，因为△ADE∽△EQF，所以AEEF=DEFQ=nm，故FQ=mnDE，所以tan∠FCH=mn.4 思考

数学是一门灵活的科学，无论是教师还是学生，在面对具体的数学题目时都不要仅仅把自己看作是一个解答者，有时候“不识庐山真面目”的原因就是在解决问题上匆匆而过，在完成一个题目的解答之后并未再以命题者的身份对问题进行深入探究，挖掘那些隱藏的细节，联想更多的问题，笔者通过本文和文献[1]-[3]向读者提供一些细致研究题目的方法和视角，希望对读者有所帮助.

参考文献

[1]郑学涛，刘元香.从特殊到一般——对2016年日照中考数学21题的深入探究

[J].中学数学杂志，2017（04）：57-59.

[2]郑学涛.还原全貌 深度思考——对2017年淄博市中考数学23题的研究[J].中学数学杂志，2017（10）：60-62.

[3]郑学涛.既见树木，何不深入森林？——围绕2017年济宁市中考数学20题开展的思考[J].中学数学杂志，2017（04）：60-62.