研究中考试题的几个视角

余小芬

中考试题是知识、能力和思想方法的载体，是命题思想、命题理念的程序化展现，具有典型性、示范性和权威性.部分中考试题设计新颖，构思巧妙，体现了命题专家的智慧.研究中考、研究中考试题是复习备考中“有的放矢”的最佳途径.纵观历年中考试题，不乏有一批情境新颖、探究性强、思路宽广、解法多样、结论丰富的优秀试题，这些好题不仅是当年中考的一道亮丽风景线，而且也具有重要的教学和研究价值.同时这些试题的变式和拓展也是再次编写中考试题的良好素材.一线的数学教师们将这些试题作为中考复习的例题或研究性学习的材料，既能避免题海战术，又能有效地促进学生数学核心素养的不断提升.因此，数学教师们需要深入研究中考试题，认真把握中考动态，领会命题改革精神.本文以2018年天津市中考数学第18题（下文简称18题）为例，提出研究中考试题的几个视角：研究试题立意、试题背景、试

题解法、试题变式和试题评价，以飨读者！图1

试题回放 如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的点A，B，C均在格点上.

（Ⅰ）∠ACB的大小为 （度）；

（Ⅱ）在如图1所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）.1 试题立意

试题立意指试题的主题思想，是命题者命题意图的集中体现[1].试题的立意引领试题的编拟：命题者基于命题意图，选择适当的考查内容、设置合理的数学问题、拟定恰当的考查形式.近年中考命题形成了“注重基础，考查能力”的命题特点.18题立意深刻，分析如下：

1.1 考查主干知识

18题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形全等、相似等初中主干知识，考查了尺规作图原理及作图操作，体现了数学知识的基础性、综合性及应用性.

1.2 考查能力

18题以“能力立意”为核心，从多角度、多层次考查学生的探究能力、空间想象能力和推理能力.

（1）探究能力

数学探究性学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明.具体来讲，“探”指“是什么”，“究”指“为什么”.探究的基本思路是：特值引路，先猜后证.18题考查了学生探究能力.

“探”：解答（Ⅱ）问首先要探出P′的运动轨迹；其次需探出BC旋转后的位置；最后要探出使CP′最小的点P′的位置.图2

“究”：如图2，首先利用旋转性质，确定出P′应落在边B′C′上；其次，利用旋转、正方形性质、三角形全等、相似、锐角三角函数等知识，确定出B′C′上两点位置（或一点及B′C′的倾斜程度），进而根据“直线外一点（C）与直线（B′C′）上任意一点的连线中，垂线段最短”，将问题转化为作CP′平行于AC′，从而利用三角形中位线定理、平行线判定定理及性质确定CP′.

（2）空间想象能力

伟大科学家爱因斯坦曾说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究中的实在因素.”关于空间想象力的含义，林崇德教授指出，中学生的空间想象能力包括对平面几何图象和立体几何图形的运动、变换和位置

关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等[2].《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准》）中对培养初中生空间观念的内容中就明确提出：能描述图形的运动和变化，能依据语言的描述画出图形[3].

18题探究出点P′位置对学生的空间观念要求较高.首先需要学生能够想象△ABC旋转后的位置；再次，确定边B′C′所在直线时，需想象边BC上特殊点（如格点）旋转后的位置；最后，探究CP′最短时，要能想象CP′与边AC′的平行关系.

（3）推理能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[2].波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实驗性的归纳科学”.数学推理也应有两类：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论.《标准》在数学思考的目标表述中明确提出要求：要发展合情推理和演绎推理的能力.两种推理功能不同，相辅相成[3].

解答18题对学生推理能力要求较高：解答（Ⅱ）问首先根据作图工具为无刻度直尺，分析出作图原理——构造线段、射线或直线；其次，由合情推理大胆猜想BC上的一些特殊点（如格点）旋转后的位置；再次，确定B′C′的位置、构造垂线段CP′需进行严密逻辑推理.整个过程既有合情推理又有演绎推理.2 试题背景

试题的背景指命题时选取素材中含有的知识、模型、问题、文化、思想和方法等[1].弄清试题背景对领悟试题的立意有益，对理解试题的本质有利，对探索试题的解法有用.常见的试题背景有现实背景、教材背景、高考（或高中）背景、高等数学背景、竞赛背景、数学史背景等等.18题内涵丰富，有深刻的教材背景和中考试题背景.

2.1 教材背景

该试题取材于人教版九年级（上）第二十三章“旋转”一章（教材62页）的两道习题.图3 图4

习题3：如图3，△ABC中，AB=AC，P是边BC上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形.

习题4：如图4，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.

点评 教材习题3介绍了利用旋转性质作图.由旋转性质，P旋转后应落在BC对应边B′C′上，且AB旋转至AC.这恰好为18题（Ⅱ）问确定B′位置、P′的轨迹积累了作图经验.习题4考查在网格中作△ABC的旋转图形.这与18题（Ⅱ）问仅使用无刻度直尺作图原理一致.同时，18题（Ⅱ）问当CP′最短时，即C1P最短（如图2，C1为边AB上点，且AC1=AC），故（Ⅱ）问也可转化为以A为中心，取旋转角等于∠BAC，将△C1PB旋转至△CP′B′，这与习题4显然同类型，只不过习题4中旋转角为90°和180°，作图思维难度更小，可操作性更强.

2.2 中考试题背景

利用网格作图是近年中考的重点和热点.在网格背景下研究平面图形，一方面保留了图形自身的几何特性，另一方面网格自身的位置和数量特性又賦予了图形一些特殊关系，进而使图形的一般几何性质得以特殊化、数量化.[4]由此可见，网格中尺规作图注重知识间的紧密联系与灵活转化，对学生观察、分析、转化问题的能力要求较高.近年，天津市中考数学卷18题始终坚持考网格中的作图问题，形成了独特的命题风格，为新作图问题的命制提供了样板，为新作图题的解答提供了思路和方法，为应对新作图问题积累了经验.因此，可以说18题含有历年网格作图题的背景.3 试题解法

解法研究是研究中考试题的最基本形式和主要内容.解答方法是命题意图的直观呈现，是试题背景的外化.解法研究的视角有：一题多解、多题一解、一题多用、错解分析等等.其中，一题多解指从不同视角对同一问题进行分析，进而得到多种解答方法.在一题多解的过程中，需要关注思路的形成、方法的提炼、过程的表达和策略的优化.通过对解法间共性与差异的分析，加深对问题本质的认识，同时培养学生思维的灵活性和策略的多样性.18题解答视角宽，下面给出分析.

解析 AB=52，BC=42，AC=32，∠ACB=90°.不妨设△ABC旋转至△AC′B′，则点P旋转后应落在边B′C′上，故当CP′最小时，图5应满足CP′⊥B′C′.又AC′⊥B′C′，故AC′∥C′P′.

下面首先给出确定CP′所在直线的方法：如图5，取格点I，J，线段IJ交AB于点F，则直线CF即为CP′所在直线.

说明 因为IJ∥BC，J为AK中点，所以F为AB中点，故在Rt△ABC中，FA=FC，∠1=∠2.由旋转知∠2=∠3，所以∠1=∠3，得CF∥AC′.因此，CP′落在直线CF上.

再确定B′C′的位置.易知点B旋转至B′，因此只需再确定直线B′C′上一点或B′C′的倾斜程度.下面给出几种不同的处理方法.

法1 取格点G，N，H，S，连接GH与SN交于点M，则边B′C′落在直线B′M上.

说明1 易知∠FBI=∠MB′H.又∠FBI=45°-∠ABC，∠MB′H=45°-

∠CB′M，因此∠ABC=∠CB′M.故边BC旋转后落在直线B′M上.

说明2 如图5，不妨设边BC旋转后落在过B′的直线l上，延长BC交l于点O.在Rt△B′CO中，CO=B′C·tanB=322.又BC延长线过格点N，S，且CN=2，故NO=CO-CN=22，显然O为单位正方形对角线NS的中点，故O与M重合，即边B′C′落在直线B′M上.图6

法2 如图6，取格点K，S，延长线段AS至点N.取格点D，E，G，H，L.连接ED交直线SC于点F，连接GH交直线DL于点Q，连接FQ与射线SN交于点M，则M为BC边上点K旋转后所得点，即边B′C′落在直线B′M上.

说明 如图6，由AKAC=BKCS=2，∠AKB=∠ACS=135°，知△ACS∽△AKB，故∠SAC=∠BAK.所以∠KAS=∠BAC.故K旋转后所得点K′应落在射线AS上，又AK=6，AS=5，所以SK′=1.

又由相似，FSDL=45.同理，QLGS=45.又DL=GS=1，所以FS=QL=45.故在Rt△SFM中，FS=SM·

sin∠FMS=SM·sin∠SAK，解得SM=1.

综上，M与K′重合，即边BC旋转后落在直线B′M上.

法3 如图7，以A点为原点建立平面直角坐标系.取格点K，D，E，F，U，T.连接CF交AK于点N，连接DE交直线l于点M，作直线MN.再取格点H，G，I，S，L，O.连接GH交直线CD于点J，连接IS交直线EF于点Q，直线MN交JQ于点R，则边BC旋转后落在直线B′R上.图7

说明 令K（6，0）旋转至点K′，故K′的横坐标xK′=AK′·cos∠K′AK=6cos∠CAB=185，纵坐标yK′=AK′·sin∠K′AK=245.即K′坐标为（185，245）.

由相似，TN=UM=35，故AN=AT+TN=185，且直线MN⊥AK.同理，JL=OQ=45，故JQ∥GS，且NR=4+45=245，所以R（185，245）.

综上，R与K′重合，即边BC旋转后落在直线B′R上.

点评 法1、法2、法3的关键均是确定边BC旋转后的位置.其中法1又可从两种不同视角进行理解：说明1是通过构造全等三角形说明角相等，从而利用一定点（B′）和定角确定直线；说明2是先计算再构造.即先假设图形存在，再利用旋转性质，结合锐角三角函数计算出边B′C′上关键点M所应满足的条件（CM=322），最后再利用网格几何性质反过来寻找满足条件的点M，由此确定边B′C′位置.

法2、法3则是抓住边BC上的关键格点K.其中法2是结合计算，构造相似三角形找出旋转角，从而明确K′所在直线，进而根据“对应点到旋转中心的距离相等”确定K′位置.而法3则通过建立直角坐标系，将K′位置坐标化，再结合横纵坐标构造对应长线段来确定K′.同时，法2、法3中绘制长度为35（或45）的线段均是将35（或45）处理为两个相似三角形的相似比.图8

特别指出，18题提供的是8×9网格，如果替换成8×10网格纸，更容易确定B′C′所在直线.如图8，取格点D，D′，B′，则直线BC上点D旋转后为点D′，故B′C′落在直线B′D′上.图9

还比如替换成8×35网格，也可通过下列作法直接确定点P′：如图9，取格点B′，J，E，F，G，H.连接B′J，连接EF交直线l1于点M，连接GH交直线l2于点N，则直线MN与B′J的交点即为所求P′.

（对于图8、图9作法，有兴趣的读者可自行证明，限于篇幅，此处略.）4 试题变式

变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式.“依靠变式提升演练水准”是张奠宙先生指出的数学教学的四个特征之一.变式有助于完善学生认知，帮助学生形成良好的的认知结构.图10

4.1 条件变式

改变18题的作图工具，提供圆规、无刻度直尺，则可直接作出旋转角、截取线段等于已知线段长、作已知直线的垂线段.作法如图10所示（仅保留作图痕迹）.

4.2 问题变式

如图11，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的点A，B，C均在格点上.图11

（Ⅰ）P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点C顺时针旋转，点C的对应点为C′，当C′P最短时，请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的.

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，又以B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△ABC顺时针旋转，得到△A′BC″.Q为边A′C″上任意一点，当CQ+PQ最短时，请用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的.（限于篇幅，仅保留作图痕迹及证明中需取的关键点.）5 试题评价

斯塔弗尔比姆指出：“评价最重要的意图不是为了证明，而是为了改进.”评价中考试题，对于应试者来说，就是为了改进教与学：是立足、坚守？还是改进、优化？对命题者来说，评价是提高试题质量的有力保障.

总的说来，18题是整张试卷中的一道优秀试题.首先，该试题涉及知识容量较大，覆盖了平行线的判定定理及其性质、三角形、正方形、勾股定理、全等、相似等基本知识，这符合考查主干知识的命题原则；其次，题目注重对数学思想的考查，比如：（Ⅱ）问考查了数形结合思想、化归转化思想；再次，考查了运算能力、推理能力、空间想象能力和自主探索能力，这体现了“加强基础，培养能力，发展智力”的教学指导思想；第四，从题目的设置层次上看也是非常合理的，它在有良好“信度”、“效度”的基础上，具有十分好的区分度：（Ⅰ）问考查了特殊角度的求解，属于简单问题，绝大部分学生都能解决，这体现了“不同的人在数学上有不同的发展”这一理念；（Ⅱ）问难度较大，带有浓厚的“压轴题”味道，在区分度上非常好；第五，该试题的编制具有创新性，具体表现在：打破了传统的尺规作图题型，少了圆规，多了利用几何性质作图，这些充满活力的格点和平行线使得作图题充满魅力、充满趣味、赋予挑战，这也体现了“在玩中学、在学中思、在思中得”的理念；第六，该试题源于教材和中考试题，对回归教材教学和把握中考动向有很好的引领和示范作用.

尽管该试题独具匠心，但仍存在一些瑕疵.18题（Ⅱ）问只要求作图，不需证明.尽管命题者设计意图是为了降低试题难度，但这对培养学生数学思维的严谨性不利.《标准》也明确要求：“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，即作图也要做到“有根有据”.否则，可能使得学生会画（具备操作技能），但不会“写”（缺乏语言表达能力），更不会“证”（缺乏逻辑思维能力），这直接影响对学生空间观念、几何直观、推理能力的培养.因此，在日常教学中，除了加强学生动手操作能力，也要培养学生的逻辑推证能力和语言表达能力，使得学生的理性精神在潜移默化中完美升华.

波利亚指说：一个专心、认真备课的老师往往能够拿出一个有意义但又并不复杂的题目，帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.这样看来，18题正是“这样的一道题”，而研究中考试题的五个视角正是打开“那道门的钥匙”，由此必将促使学生通过有限的分析领悟解决无穷问题的数学机智.

参考文献

[1]薛世林，刘成龙.2016年高考四川理科數学卷第21题的多角度分析[J].福建中学数学，2017（4）：4-6.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]贯忠喜，陈建.多角度探究2017年天津市中考网格作图题[J].中国数学教育，2017（12）：39-43.