数学命题中“问题背景”的开发与利用

钱德春

命制试题是教师的一项基本功，理想的试题一定具有背景新颖、形式独特、结构完美、解答适切等特点.其中，问题背景的原创性、新颖性是所有命题者的追求.本文结合具体案例，就数学试题的命制中“问题背景”的开发与利用，谈谈笔者的体会与思考.1 关于数学命题中的“问题背景”

本文所说的“问题背景”是指数学试题中，问题的形式背景、方向背景、结构背景、方法背景、知识背景和能力背景.有的问题所选取的形式背景相同，但向不同方向发展、延伸，运用不同知识来解决，能力要求也不同；有的问题形式背景不同，但向同一个方向发展，运用相同知识来解决；还有些问题背景相同或相近，但设计的方向不同，其分析思路与解题方法也不尽相同.

1.1 形式背景相同，向不同方向设计

例1 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元[1]？

问题简解 设衬衫的单价降了x元，则降价后的盈利为（20+2x）（40-x），则有（20+2x）（40-x）=1250，x2-30x+225=0，解这个方程，得x1=x2=15，所以衬衫的单价降了15元.

变式1 衬衫的单价降了多少元时，商场销售这批衬衫每天盈利最大？

设每天盈利y元，有y=（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250

当x=15时，y的最大值为1250.所以，当衬衫的单价降了15元时，商场销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利为1250元.

变式2 采用这种降价的方法，商场销售这批衬衫每天盈利能否达1300元？

问题简解 方法一：建立方程模型.依题意有：（20+2x）（40-x）=1300，x2-30x+275=0，Δ=（-30）2-4×275=-200<0，方程无实数根，故无论怎么降价，每天盈利都不可能达到1300元.

方法二：建立函数模型.设每天盈利y元，有y=（20+2x）（40-x）=-2（x-15）2+1250，函数y的最大值为1250，故盈利不可能达到1300元.

特点分析 从上述问题及解答来看，问题都选取了同一背景，但问题在向不同方向设计.例1是向“一元二次方程”模型发展，变式1是向“二次函数”模型发展，而变式2是双模型设计，既可以运用“一元二次方程”模型解决，也可以运用“二次函数”模型解决.

1.2 形式背景不同，方向、知识、思路相同

例2 某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾的产量为1000 kg.若再向鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50 kg.应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少[2]？

问题简解 设向鱼塘再投放鱼苗x千尾，总产量为y kg，则有y=（1000-50x）（10+x）=-50（x-5）2+11250，当x=5时，y的值最大，最大值是11250.

特点分析 与例1的变式1相比，一个是衬衫销售问题，一个是投放鱼苗问题，“衬衫”换成了“鱼苗”，“降价”换为“再投放”，但本质上都是都运用二次函数知识求最值问题.属于形式背景不同，方向、知识、思路相同.2 数学命题中“问题背景”的开发与利用

原创“问题背景”对命题者是不小的挑战，这也是命制一份试卷花费时间较多的地方.本文所说的“问题背景”開发是指对教材、试卷等资料中已有的试题背景进行开发.因此，利用已有试题的“问题背景”进行再创造，是试题背景设计的重要方法之一.

2.1 利用已有“形式背景”，设计新的问题图1

例3 （2017年江苏泰州中考卷第22题）如图1，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.

（1）求证：△ABE≌△DAF；

（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长.

问题简解 （1）（略）；（2）设EF=x，由S△ABE+S△ADF+S△DEF=S四边形ABED列出关于x的方程2×12（x+1）+12x（x+1）=6，进而求出x=2（x=-5舍去），从而有EF的长为2.

命题时，可以利用已有的问题背景进行延伸性发展，也可以向不同方向发展，得到新的试题.

（1）相同的“形式背景”，进行延伸性发展

变式1 （2018年山东潍坊中考卷第20题）如图2，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.

（1）求证：AE=BF；

（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值.图2

特点分析 该题的方法与例3一样，得到EF=4、BE=213，所以sin∠EBF=EFBE=21313.显然，试题选择的问题背景与例2相同，问题发展的方向也相同，并在原有基础上有所延伸与发展.

（2）相同的“形式背景”，向不同方向发展图3

变式2 （2018年杭州中考卷第23题）如图3，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k.

（1）求证：AE=BF；

（2）连接BE、DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：tanα=ktanβ；

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值.

问题简解 （1）方法与例3相同；（2）由于tanα=EFED，tanβ=EFBF，欲证tanα=ktanβ，即证EFED=k·EFBF，即要证BFDE=k，而BGBC=k，所以只要证BFDE=BGBC，显然由△FBG∽△EDA即得.（3）由△BHG∽△DHA得S△BHG=k2S1，BDBH=k+11；由△ABD和△ADH同底等高得S△AHD=BDBH·S1=（k+1）S1，所以S2S1=（k+1）S1-k2S1S1=-k2+k+1=-（k-12）2+54（以下略）.

特点分析 该题选择了与例3完全相同的背景，但第（2）、（3）小题的命题方向、解题方法不同.泰州题运用了方程模型计算线段长度，而该题主要利用相似三角形、锐角三角函数、图形面积等知识、方法，最后建立二次函数模型，体现了命题者基于原形式背景，在命题方向、结构、方法、知识和能力要求上的再创造.

2.2 改变已有的“形式背景”，设计新的思路

变式3 平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，5），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，过点O的直线l交射线CA于点P，BE⊥l，CF⊥l，E、F为垂足，且BE=m，CF=n，作⊙A与直线l相切.

（1）若m-n=2，求⊙A的半径；

（2）当m-n为何值时，⊙A与直线BE相切？

问题简解 （1）如图4，设⊙A与直线l相切于点G.连接AG，作AH⊥BE，则∠AHE=90°，易证四边形AGEH为矩形，所以AG=EH，进而证得△CFO≌△BHA.故CF=BH.因为BE-BH=EH，所以BE-CF=AG，故AG=m-n，即⊙A的半径为2.

（2）设⊙A与直线l相切于点G，与直线BE相切于点H.设AG=AH=r.分两种情形：①若点P在线段CA上（如图5），由△OEB∽△BHA得105=mr.所以m=2r.所以BH=m-r=r.在Rt△ABH中有r2+r2=52，解得r=522.所以m-n=522.②若点P在线段CA的延长线上（如图6），同理可得m=2r，△CFO≌△BHA.所以CF=BH.BH=BE+EH=m+r=3r.在Rt△ABH中由勾股定理求得r=102.所以m-n=-102.综上所述，当m-n的值为522或-102时，⊙A与直线BF相切.

特点分析 变式3将例3的“正方形”背景改为“矩形”背景，并向三角形相似、圆、勾股定理等方向发展.问题的形式背景和方向背景都有所变化，既要求数与形结合，将“形”的问题转化为“式”解决，又需要根据运动中的图形位置分类解决，能力要求大为提高，是向新方向、新思路发展的一道好题.

2.3 融合不同的“方向背景”命制新的试题

例4 （2017年江苏泰州中考卷第23题）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元.

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品售价，同时提高B种菜品售价.售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份.如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

问题简解 （1）该店每天卖出这两种菜品共60份（过程略）；（2）设这两种菜品一天的总利润为W，A种菜品每天多卖m份.W=（6-0.5m）（20+m）+（4+0.5m）（40-m）=-（m-6）2+316（0≤m≤12）.当m=6时，W的值最大，且最大值为316.所以这两种菜品一天的总利润最多为316元.

特点分析 常见的类似问题，或是减量（如例1的单价下降）增积（如利润提高），或是增量（如例2的投放鱼苗），问题背景单一.而本题则将两种背景融合，即一种菜品减价增加销量，另一种菜品提价减少销量，进而求同时满足两种共存时的最大总利润，是对两种不同的“方向背景”进行融合式创新.从实测数据来看，10分的题均分为5.09，满分率为16.86%，难度系数为0.51，区分度为0.9，考试情况并不理想，究其原因，主要是部分学生习惯了“单一背景”问题，面对“双背景”融合问题时束手无策.

2.4 以新的背景沿着相同方向设计试题

例5 （2017年江苏泰州中考卷第21题）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m-1）.

（1）试判断点P是否在一次函数y=x-2的图象上，并说明理由；图7

（2）如图7，一次函数y=-12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，求m的取值范围.

问题简解 （1）（略）；（2）设一次函数y=x-2的图象交AB、x轴于点E、F.因为点P在一次函数y=x-2的图象上，所以当点P在△AOB内部时，点P在线段EF上（不含点E、F）.当P与E重合时，m-1=-12（m+1）+3，解得：m=73；当P与F重合时，m-1=0，解得：m=1.所以1

特点分析 问题（1）的思路与结果为问题（2）的解决作了铺垫：（2）的点P既在直线y=x-2上，又在△AOB的内部，则点P在直线y=x-2与△AOB的边的交点之间，故画出直线y=x-2与△AOB的边相交，并求出这两个交点坐标，问题就转化为：求m的范围→求点P横坐标m+1（或纵坐标m-1）的范围→找线段的两个端点→解二元一次方程组，思路自然而然，方法水到渠成.

变式 （2018年浙江舟山中考卷第23题）已知，点M为二次函数y=-（x-b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A、B.

（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；

（2）如图8①，若二次函数图象也经过点A、B，且mx+5>-（x-b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围；① 图② 图8

（3）如图8②，点A的坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1）、D（34，y2）都在二次函數图象上，试比较y1与y2的大小.

问题简解 （1）把x=b代入y=4x+1得y=4b+1，所以点M在直线y=4x+1上；（2）（略）；图9（3）如图9，将直线y=4x+1与直线AB的关系式方程组得y=4x+1，y=-x+5，解得x=45，y=215.所以点E、F的坐标分别为（45，215）、（0，1）.因为点M在△AOB内，所以0

特点分析 将变式题与例5比较如下：

图形—方程—坐标—范围，考查运用已有结论的能力、数形结合思想.

从上述表格发现：从试题位置上看，江苏泰州题位于试题第21题，是试卷中的中档题，而浙江舟山题则是亚压轴题位置，起着区分的作用，两题的能力要求不同；从形式背景上看，两者有较大差异，江苏泰州题是一次函数问题，而浙江舟山题增加了二次函数和相关的知识背景，信息量较大.但浙江舟山题借鉴了江苏泰州题的试题方向背景、结构背景和思路背景.两题的方法、目的地相近.应该说，这道题的命制是成功的.3 对数学命题中“问题背景”开发与利用的思考

3.1 数学命题中“问题背景”开发与利用的原则

一是创新变化发展原则.客观地说，每年有几百份中考数学试卷面世，要命制有新意、让人眼前一亮的试题与试卷，做到“年年岁岁题不同、岁岁年年意有别”，避免简单复制与模仿，减少试题同质化现象，是一件不容易的事.但作为中考这样高关注度的考试，数学试题的“问题背景”必须注重、创新、变化与发展.除了开发新素材、发现新背景外，充分发挥已有“问题背景”的命题价值，进行新的开发与利用，是一种重要的命题途径.通过借鉴、改编、重组原有“问题背景”，编制新的试题，达到“形同质异”、“形异质同”、“形变质新”的效果.

二是回归数学教材原则.仔细比较各地试题发现，不同地区、不同年份的部分试题，其形式背景、方向背景、方法背景、知识背景相同或相近，只因试题的源头在教材，有的背景取材于教材基本概念、定理、法则的形成过程，有的背景取材于教材的例题与习题，这让人有命题者“英雄所见略同”的感觉.回归教材是数学试题命制的一个基本原则.

三是适宜适切适度原则.中考试卷不仅具有选拔功能，还有学习评价的目的.因此，这种评价必须基于学生认知，“问题背景”必须遵循适宜、适切、适度的原则.试题的“形式背景”必须是学生熟悉的、所能理解的，“方向背景”必须在学生认知范围之内，“思路背景”应该是初中学生必须掌握的主流思路，不宜将高中知识的“问题背景”下放到初中试卷中.

四是关注数学本质原则.无论“问题背景”如何变化、问题向什么方向发展、用什么方法解决，但“万变不离其宗”，试题命制必须关注数学本质，考查学生必须掌握的数学核心内容、基础知识、基本技能和重要方法，考查数学学习必须具备的基本素养与能力，杜绝偏、繁、怪的命题导向.

3.2 数学命题中“问题背景”开发与利用的途径

从前文案例可以看出，数学命题中“问题背景”的开发主要有以下途径：

一是“莫看江面平如镜，要看水底万丈深”.充分利用已有“形式背景”，既可以在原有问题的方向上进行延伸性发展，也可以设计出向不同方向发展的试题.这样的试题具有一定的“迷惑性”，让人感觉似曾相识但又有本质区别，其解题思路与方法基于原有背景，又提出更高层次的要求.

二是“人面不知何处去，桃花依旧笑春风”.编制试题时以新的背景沿着原有方向设计.有些试题看似背景不同，但考查知识、方法相同或类似.

三是“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.有时将已有的“形式背景”从不同的角度出发、向不同的方向变化.比如将背景特殊化或一般化，像“等边三角形”改为“正方形”、“正方形”改为“矩形”当属于此类；又如变换“问题背景”的角度，像“形”的背景改为“式”的表述、或“式与数”的背景换为“形”的表述方式，“反比例函数”改为“二次函数”等，都是变换背景角度；还可以“形式背景”不同，但沿用原“问题背景”试题的方向、思路；更多的试题从形式背景到方向背景、思路背景发生了根本的变化，如“三角形全等”变为“三角形相似”、纯几何方法的问题改为用代数方法更快捷等.

四是“一盘什锦成佳肴，满桌饕餮细品味”.即将看似关联度不大的“问题背景”有机融合，编制新的试题.例4“怡然美食店销售菜品”的问题就属于此类问题.应试者必须抽丝剥茧提取有效信息，将信息条理化、序列化，借助已有知识、方法和经验，通过分析与综合、运算与演绎，才能达成正确解题的目标.这种融合有形式背景的融合，也有方向背景、方法背景或知识背景的融合，更有多种背景的融合.犹如一盘什锦、满桌饕餮，要想享受个中美味，就必须按照一定的顺序、以特定的方式慢慢品味.參考文献

[1]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（九年级上册）[S].3.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2014.6：25.

[2]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（九年级下册）[S].3.南京：江苏科学技术出版社，2014.12：30.