注重数学探究活动 培养学生推理能力

张扬

【摘 要】 数学教学的载体是教材，培养学生的数学素养主要依靠传授教材中的知识完成的.“全等三角形”中探究两个三角形全等的条件对于提高学生的推理能力至关重要.教师要通读教材，整体上把握全等三角形一章的知识结构、具体安排；明确这一章教材的编写特点；在教学中尽量引导学生在探究活动的过程中，自主得到全等三角形的判定条件.

【关键词】 知识结构；编写特点；教学建议

全等图形是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）界定的“图形与几何”中的重要内容，在现实生活中有着广泛的应用.全等三角形是最简单、最基本的全等图形.全等三角形的有关概念、性质及判定，是研究各种几何图形最常用的知识，是进一步研究图形的轴对称、等腰三角形、几何证明、多边形、图形的平移和旋转、相似形、圆和简单几何体等后继知识的基础.1 教材分析

1.1 知识结构（图1所示）图1

1.2 内容设计概述

本章包括全等图形、全等三角形、探索三角形全等的条件三节内容和一个数学活动.

第1节“全等图形”1课时，教科书首先给出三组生活中的图案，让学生进行观察、欣赏、思考、相互交流等活动，形成对全等图形的感性认识：全等形通过适当叠合能够重合，从而概括出全等图形的概念.然后引导学生进行两个探索活动：（1）找出给定图形中的全等图形；（2）仔细观察给定的三组全等图形，思考怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一个图形？学生通过第一个交流活动，可以加深对全等图形本质的理解；通过第二个操作活动，学生能感受到图形运动的本质，养成用“动”的方法研究图形性质的习惯，培养和发展学生的空间观念.

第2节“全等三角形”1课时，教科书以两个信封上的“三角形纪念邮戳”完全重合为背景，直接给出全等三角形的概念，结合图形给出了对应顶点、对应角、对应边的概念.由全等三角形的概念直接得到全等三角形的性质.通过剪纸活动引导学生经历了三角形的平移、翻折、旋转活动，帮助学生加深对全等三角形本质的认识.

第3节“探索三角形全等的条件”8课时，教科书从两个三角形全等的定义出发，精心创设了系列问题情境，以此引导学生进行“观察、实验、猜测、推理、证明、交流、反思”等活动，在活动的过程中，引导学生得到判定两个三角形全等的五个方法.

具体探索判断两个三角形全等条件的过程为：首先顺次探索得到了三个基本事实SAS，ASA，SSS.其中在探索到第二个基本事实之后，教科书设计了一个思考活动：给定两个角以及一角对边相等的两个三角形，引导学生利用三角形内角和定理推出第三个角相等，从而根据ASA判定这两个三角形全等，得到ASA的推论AAS.然后探索得到了判定两个直角三角形全等的定理，即HL.

另外，在探索到第三个基本事实SSS之后，教科书介绍了三角形的稳定性和四边形的不稳定性.在探索判定三角形全等的基本事实、推论和定理的过程中，教科书采取“镶嵌”的方式，插入了“尺规作图”的知识，引导学生用直尺和圆规学会两个基本作图：作一个角的平分线；过一点作已知直线的垂线；并会利用基本作图作三角形.

本章教材最后的“数学活动”延续了第3节的探索过程，解决了有3对、4对或5对元素分别相等的两个三角形是否一定全等的问题.让学生经历条件逐步由少到多的探索过程，体会分析问题的方法，了解反例的作用，学会数学思考.2 本章教材主要编写特点

本章教科书在编写的过程中，努力体现《课标（2011年版）》的基本理念，精心选用合适的素材（如图片、情境、实例），努力设计了一些符合“数学的学科特征”及“学生认知规律”的问题系列，使学生通过问题情境经历观察、比较、识别、抽象的过程，从而了解全等三角形的特征；通过作图、思考、类比等数学活动探索判定三角形全等的条件；设置恰当的思考问题，强化学生对尺规作图的理解和基本作图技能的掌握.

2.1 教学素材的选取体现了现实性

《课标（2011年版》提出了六条针对教材编写的建议，其中之一为“现实性”.本章选取了密切联系学生生活实际的丰富实例，如章头图选用的主图是两扇雕花的窗格，辅图是两个全等三角形.这些实例贴近学生现实，形象生动，与本章内容密切相关，具有启发性，能使学生感受到生活中处处存在并且用到全等的图形，容易“激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”.

再如，教科书在引导学生探索到判断三角形全等的第三个基本事实（SSS）之后，及时介绍了三角形的稳定性和四边形的不稳定性以及这两种性质在生活实际中的应用等；在习题1.3中的第3题、第7题以及复习题中的第2题，第3题等都是利用三角形全等的性质解决的实际问题，这些都体现了“现实性”的要求.这些素材的选取一方面有利于学生学习本章的数学知识，另一方面使学生体会到“数学来源于生活实际，产生于现实需要，又服务于我们的生活实际”，加深了對“生活即数学”的认识和理解.

2.2 在学生的探索活动中，培养学生的合情推理能力

《课标（2011年版》在“课程设计思路”中提出了十个核心概念，其中之一便是推理能力.平面几何内容历来被认为是培养学生推理能力的重要载体，苏科版教科书把培养学生的推理能力作为贯穿“图形与几何”内容的主线之一，遵循“合情推理——演绎推理——合情推理与演绎推理相结合”的原则，分三个阶段设计这部分内容的.

从培养推理能力来说，本章既突出了对演绎推理能力的训练，本章中设计了大量的用“综合法”证明三角形全等的很多命题；又注重了利用合情推理探究命题结论的内容，例如，对判定两个三角形全等的三个基本事实都是首先引导学生利用尺规作出给定条件的三角形，然后启发学生相互比较他们所作的三角形能否重合，从而猜想得到的.这个过程有利于培养学生的合情推理能力.

本章的设计有利于培养和发展学生的几何直观和空间观念，丰富学生的数学活动经验，同时对于他们感受数学思考过程的合理性和数学结论的确定性也是非常有益的.

2.3 突出尺规作图的教学价值

在几何作图问题中，最古老、最重要的是尺规作图问题.即只允许使用没有刻度的直尺与圆规进行作图.对于尺规作图，《课标（2011年版）》的要求是：能作五种基本作图，会利用基本作图作五种三角形、三种圆以及作圆的内接正方形和正六边形，这些作图问题“散”现于本套教科书的有关内容之中.这样设计符合《课标（2011年版）》提出的“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性”要求.

本章要求学生学会两个基本作图：作一个角的平分线；过一点作已知直线的垂线.并会利用基本作图作四种三角形，即已知“两边及其夹角、两角及其夹边、已知三边作三角形”以及“已知一直角边和斜边作直角三角形”，这些作三角形的依据依次是SAS，ASA，SSS，HL.

突出尺规作图的教学能加深学生对三角形全等判定方法的理解，培养学生的作图技能，养成学生认真勤奋的学习习惯，“严谨求实”的科学态度，有利于数学核心素养的形成与发展.3 教学建议

3.1 引导学生经历知识的形成过程

《课标（2011年版）》指出，数学教学“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验.这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程.”这就要求我们在数学教学中应结合学生的“生活现实”，精心设计能激发学生学习兴趣的问题系列.

全等图形的实例在现实生活中随处可见，在引入全等图形的概念之前，教师要引导学生共同找出一些能够互相重合的图片和其他生活中实例，鼓励学生进行观察、对比、识别、交流等活动，直至抽象出全等形的特征：形状相同、大小相等，从而给出全等图形的概念.

3.2 引导学生明确探寻简便判定三角形全等方法的必要性

能够完全重合的两个图形叫做全等图形，定义中的关键词是“完全重合”.一个三角形有三条边，三个角，共6个元素.若两个三角形全等，根据三角形全等的定义，只有当两个三角形的6对元素完全“完全重合”时才能全等.也就是说，两个三角形的“形状相同，大小相等”是其全等的必要条件.学生对“形状相同”很容易理解，而“大小相等”则意味着两个三角形的6对元素分别相等.可见，从定义出发判定两个三角形是否全等，通过叠合将其“完全重合”可能不仅不方便，有时是不可能的.

事实上，根据两个三角形的6对元素之间的相等关系，判定这两个三角形全等.不仅麻烦，而且也不必要，教学中要引导学生从全等形的特征出发，适当的减少一些条件来寻找到简便的判定方法，这是数学研究的方向.

为此，教师和学生在相互交流的基础上，归纳得到两个三角形满足一对元素、两对元素、三对元素的情况，如下所示：

（1）满足一对元素一条边相等，一个角相等；

（2）满足两对元素两条边分别相等，两个角分别相等，一条边、一个角分别相等；

（3）满足三对元素两边及其夹角分别相等，两角及其夹边分别相等，两角及其一等角的对边分别相等，两边及其一边的对角分别相等，三条边分别相等，三个角分别相等.

这样需要探索11种情况.

3.3 把重点放在引导学生探索三角形全等的判定方法上

《课标2011年版》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”按照上述理念，在引导学生探索三角形全等的条件时，应该按照教科书提供的素材，依次探索得到判定三角形全等三个基本事实（SAS，ASA，SSS）、一个推论（AAS），以及判定两个直角三角形全等的方法（HL）.

3.4 重视数学活动的教学

本章的数学活动指出了已经学习的判定两个三角形全等的五个方法SAS，ASA，SSS，AAS，HL的条件，这两个三角形中都已经具备了3对元素（边或角）分别相等的条件.为引导学生进一步开展探索活动，完善探索三角形全等的条件，可用下面的问题启发学生思考与探索：

第一，两个三角形只有一对元素、两对元素分别相等，这两个三角形全等吗？

学生通过画图、比较、相互交流等活动很容易得到下面的结论：

如果两个三角形，满足一对元素和两对元素分别相等都不能确保这两个三角形全等.这样前面归纳出（1）的两种情况和（2）的三种情况都不能作为判定两个三角形全等的条件.

第二，在三对元素分别对应相等的情况中，我们已经学习的判定三角形全等的四个方法SAS，ASA，SSS，AAS实际上分别属于（3）中的哪一种情况，即是探究（3）中的哪一种情况分别得到的？

学生通过思考、交流发现（3）中还有两种情况“三个角分别相等”“两边以及一边的对角分别相等”还没有探索.此时，引导学生针对这两种情况进行探索，得到的结论是这两种情况都不能保证两个三角形全等.如图2、图3所示：

图2所示为两个边长不等的正三角形，显然这两个三角形不全等；图3所示的△ABC和△ABD中，BC=BD，AB=AD，∠A=∠A，显然这两个三角形也不全等.

第三，在两个三角形中，如果有4對（或5对）元素分别相等，这两个三角形一定全等吗？

学生通过对上面问题的探索，不仅得到了判定三角形全等的简便方法，经历了探索三角形全等条件的过程，而且学会了开展数学探究活动的一般方法.掌握这样的方法对于学生核心素养的发展是非常重要的.

3.5 重视推理能力的培养

《课标（2011年版）》提出的“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力与演绎推理能力”.在教学中，教师要引导学生大胆猜想，勇于探索，利用合情推理探索思路，发现结论，利用演绎推理对发现的结论进行严格的数学证明.这样的教学过程能使学生搞清楚命题的来源，做到知其然，又知其所以然.

例如，在引导学生探索三角形全等的条件时的教学中，要利用尺规先作出图形，然后借助于几何的直观性，做出大胆的推测，这样导学有利于培养学生的合情推理能力.在运用得到的基本事实证明有关命题时，要把重点放在引导学生探索证明的思路上来，使学生既关注问题的结论，更要关注结论的探索过程，鼓励学生用数学语言表达自己的思考过程，逐渐培养学生的“说理”能力和推理意识.