基于改进的JC法求解结构可靠度指标

明泽文，单德山，傅 杰

(西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

为了对实际工程结构进行可靠度分析研究，各国学者相继提出了中心点法、JC法、映射变换法、近似概率极限状态设计法等多种计算方法，但是目前使用最为广泛还是JC法。JC法由Rackwitz和Fiessler[1]等提出，并已经被国际安全度联合委员会(JCSS)所推荐。从二十世纪初至今，JC法已经逐步推广到我国桥梁、建筑、岩土、港口和水利等各个领域的结构可靠度分析中。

JC法的特点是能够考虑非正态分布的随机变量，其计算过程较为简单，在满足一般工程精度的条件下，能够对可靠度指标β进行近似计算，而且还可以得到满足极限状态方程的“验算点”设计值[2]。然而在实际工程的可靠度分析中，JC法经常会出现迭代不收敛、收敛速度慢的情况，其大规模的应用推广具有一定的局限性。因此，本文将对JC法的基本计算原理进行分析，总结并找出影响其收敛性的原因，并提出适合的数学方法对其进行改进，使得改进之后的JC法具有更强的收敛性，能够更好的应用于实际工程结构的可靠度分析和研究中。

1 JC法的基本原理

在工程结构的可靠度分析中，永久荷载一般为正态分布，但是诸如截面抗力、风压、雪荷载、楼面活荷载等，一般服从其它类型的分布(如极值I型等)。因此，在使用JC法求解可靠度指标时，往往第一步就是要进行随机变量的当量正态化[3]，也即将非正态随机变量当量化为正态随机变量。

1.1 随机变量的当量正态化

一般情况下，结构的极限状态方程是由多个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn组成，如式( 1 )所示：

Z=gX(X1,X2,…,Xn)=0

(1)

由上述的两个当量正态化条件，可以得到以下两个重要公式[4]：

(2)

(3)

式中：φ为标准正态分布函数，φ为标准正态分布的概率密度函数，φ-1为标准正态分布函数的反函数，uYi和σYi为正态分布随机标量Yi的均值和标准差。经过当量正态化之后，式(1)也随之转化为：

Z=gY(Y1,Y2,…,Yn)=0

(4)

1.2 可靠度指标的求解

在当量正态化的基础上，可靠度指标β可由以下三个方程联合求解得到[5]：

(5)

(6)

(7)

2 基于拉格朗日乘子法对JC法进行改进

2.1 JC法存在的问题

2.2 可靠度指标β的几何意义

令：Hi=(Yi-uYi)/σYi，则Hi符合标准正态分布N(0,1)，由式(5)可以得到：

(8)

于是，由上式可以得到：

(9)

很明显，式(9)表示的是在标准正态随机变量Hi空间里面的法线式超平面方程，法线就是极限状态曲面上设计验算点(在Y空间里面就是点P*)到标准正态化空间中原点O的连线。其方向余弦为cosθHi，长度为β。因此，可靠度指标β等于标准正态化空间中坐标原点到极限状态曲面的最短距离。从而求解β的关键在于如何在失效曲面上找到一个点，使它到坐标原点的距离最短。

2.3 基于拉格朗日乘子法对JC法进行改进

由上一小节得出的可靠度指标的几何意义，可以发现，求解可靠度指标β相当于求解如下所示的最优化问题：

(10)

在方程组式(10)中，Hi为标准正态分布随机变量，其可由不服从标准正态分布的随机变量Xi按照1.1小节所述进行当量正态化和标准正态化得到。gH(h1,h2,…,hn)=0是极限状态方程(损伤状态曲面)在标准正态化空间中的表达式。

下面根据拉格朗日乘子法[6]对方程组(10)进行最优化求解。首先构造一个如下所示的拉格朗日函数k(h)：

(11 )

在函数k(h)中，λ为拉格朗日乘子。要使得最优化问题式(10)取最优解，那么函数k(h)必须取极小值，则下面n+1个方程必须同时成立：

(12)

对于不同结构的不同损伤模式，方程组式(12)可能是线性的，也可能是非线性的。则我们完全可以根据数值分析[7]的方法求解出上面的n+1元方程组的解，也即标准正态化空间中极限状态曲面上距坐标原点距离最短的点H*：

H*={h1*,h2*,…,hn*}T

(13)

则可靠度指标为：

(14)

3 算例分析

在针对某铁路简支梁桥进行抗震性能评估时，已知其支座构件发生轻微损伤[8]的极限状态方程为：

式中：X1和X2均服从对数正态分布，其均值和标准差随着水平向地震动PGA(单位：g)的大小变化而变化，具体见表 1。

表1 随机变量Xi统计参数

求不同地震动PGA水平对应的支座可靠度指标β。

按照2.3小节所述方法，首先通过当量正态化将随机变量X1和X2转换到服从正态分布的随机变量Y1和Y2。由1.1小节可以求得Y1和Y2的均值和标准差见表 2。

表2 随机变量Yi统计参数表

通过标准正态化：

Hi=(Yi-uYi)/σYi

表3 改进的JC法计算结果表

表4 JC法计算结果表

4 结论

传统的JC法在求解可靠度指标的时候容易出现迭代不收敛、收敛速度过慢等问题。因此，本文通过研究可靠度指标β在标准正态化空间中的几何意义的基础上，结合拉格朗日乘子法建立最优化数学模型，提出了一种求解可靠度指标的改进的JC法。并通过实际工程算例进行验证，算例分析结果表明：本文提出的改进的JC法能够很好地克服传统JC法迭代不收敛、收敛速度过慢的问题，而且兼顾了计算方法的精度和效率，具有一定的优越性，可以推广到实际的工程应用中。