量子Fisher信息在量子光学中的应用

吴佳仪　黄子涵　胡凯璇

【摘 要】本文以干涉仪为例，讨论了量子Fisher信息在量子光学中的应用。文中介绍了量子干涉仪中的分束器和相移器由幺正算符表示为量子操作，以及作为待估计参数的干涉仪的参考臂与待测臂间的相对相位，其对应的量子Fisher信息的表达式。文中还介绍了引入与初态无关，并包含所有参数化的信息的厄米算符，以便更加直观、清晰的观察到初态对量子Fisher信息的影响。同时，本文给出了初态为纯态时，由H计算出的量子Fisher信息有利于寻找最优初态，并达到分析待估计参数的最大精度。

【关键词】量子Fisher信息；Mach-Zehnder干涉仪

中图分类号： O431.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）14-0148-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.067

众所周知，很多科学理论需要通过一些物理量的高精度值来判断，而对高精度测量的研究不仅能够推动基本理论的发展，也是技术进步的需求和必然产物，因此度量学在科学技术发展中拥有重要地位。在度量学中，量子Fisher信息作为在量子系统中参数估计的最高理论精度，而受到了广泛关注。尤其是在光学系统中，寻找有效的参数估计理论对于量子度量学的发展意义重大。

散粒噪声极限一直以来都是经典度量学很难解决的问题，经典电路、光学、通讯等理论中也都有类似的困扰。该极限是由量子力学所给出的，因此人们期待通过量子力学的相关性质来超越散粒噪声极限。而对光学干涉仪的早期研究中，没有很好的解决这一问题。

在经典光学中，经典Mach-Zehnder干涉仪由光源、两个分束器、一个相移器、若干镜片和探测器组成。这个设备构成两条严格分隔的光路，即当一束从光源射出的光线经过第一个分束器时，分解成两条光路，其中一条光路上设畳有一个相移器。在经过第二个分束器后，两束光重新聚合。通过观测光线的干涉条纹或是读取输出端曰的光子数目，就可以对相位差进行测量了。当分束器无粒子数损耗时，反射光和出射光的场强复振幅模方和为1。但在很长一段时期中，无论使用什么样的光源，在此类型干涉仪中进行的测量都无法突破散粒噪声极限。因此有人认为，量子力学并不能给待测参数精度带来实质性的提高。直到八十年代，时任加州理工大学研巧员的C. M. Caves教授指出，标准光学干涉仪无法突破散粒噪声极限的原因，并不是由光源中的涨落造成的，而是此干涉仪的内秉性质决定的。该干涉仪实际上有两个输入端口，但其中一个无输入态存在，此端口的真空涨落对观测阶段的光子计数误差产生了巨大的影响，散粒噪声由此产生。如果在这一端口输入压缩真空态，那么该干涉仪就能够突破散粒噪声极限，并且实现比以前标准干涉仪更高的参数精度。自此，量子力学对参数估计的正面作用得到了充分肯定，也标志着量子度量学的真正诞生。

在量子力学中，干涉仪中的分束器和相移器均可视为由幺正算符表示的量子操作。与经典情况不同地是，量子情况下的分束器必须考虑真空涨落，即必须有两个输入源，最常使用的是SU（2）干涉儀，其分束器表示为Ui（i=x，y）（θ）=exp（iθJi），其中Ji为满足如下对易关系的Schwinger算符：

[Jx，Jy]=iJz，[Jy，Jz]=iJx，[Jz，Jx]=iJy.

并且表示为

Jx=（aa+aa），Jy=（aa-aa），Jz=（aa-aa），

其中a（a1）和a（a2）分别为两个输入源的产生湮灭算符。由于输入与输出均为两个端口，所以Ux（θ）和Uy（θ）均为二维矩阵，其在Jz的本征空间下，Ux（θ）和Uy（θ）可表示为

Ux（θ）=cos isinisin cos，Uy（θ）=cos sin-sin cos.

当θ=0，输出态与输入态相同，所有光子都通过了分束器；θ=π，所有光子都被分束器反射；当θ=，为50：50分束器。反射光和折射光产生当exp（±iπ/2）的相位差。与分束器类似，相移器也用一个幺正算符表示，常用Uz（θ）=exp（iθJz）。整个干涉仪对于输入态的作用相当于是做了一个转动。最常见的待估计参数为干涉仪的参考臂与待测臂间的相对相位θ，其对应的量子Fisher信息表示为

F=+4p（？鄣ψ

|？鄣ψ）-|（？鄣ψ|？鄣ψ）|，

其中M为输入口A的光子初态ρA（下转第132页）（上接第148页）的维度，pi为ρA的谱分解的本征值，|ψi）=|φi）？茚|φ）中的|φi）和|φ）分别为A、B输入口的本征态。

对于幺正参数化过程中的参数估计问题，为了简化问题的研究，我们通过引入一个既可以刻画参数过程，又与初态无关的厄米算符

H=i（？鄣θU？笤）U，

当初态为纯态时，量子Fisher信息通过H化简为：

F=4（ψ|（H-（H））2|ψ）.

通过厄米算符H的引入，所有参数化的信息都被吸收到H中。因此，幺正参数化下的量子Fisher信息只由初态和H共同决定。借此，初态对量子Fisher信息的影响能够被更加直观、清晰的观察到。同时也有利于寻找最优初态，以达到分析待估计参数的最大精度，即最大量子Fisher信息的方法。

我们以量子干涉仪为例，讨论了量子Fisher信息在量子光学中的应用。从技术角度考虑，量子Fisher信息相关研究的发展，会推动诸如量子陀螺仪、空间定位导航、引力常数测量等应用领域的进步。同时，以量子Fisher信息为例的量子度量学，其发展会加深不确定关系、波粒二象性、引力波等物理定理的理解。

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