动态规划算法在生活中的应用

吕丹 杨子寒 周君

摘要：动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。文中首先分别使用递归法和动态规划法对斐波拉契数列项进行求解，通过其不同的求解过程详细说明动态规划算法的原理以及建模过程，并突出用其求解具有重叠子问题的问题的优势。最后，文中通过用其对生活中的房屋物品购买以及旅行花费最少路径选择问题进行建模，完成相应的分析求解。

关键词：动态规划；运筹学；重叠子问题；问题建模

中图分类号：TP30 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）17-0253-03

1引言

20世纪50年代初，美国数学家R.E.Bellman等人在优化多阶段决策过程的研究中，提出了著名的最优化原理。即把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，并利用各阶段之间的关系，逐个求解，为解决这类过程优化问题创造了一种新的方法，即动态规划。使用动态规划中的最优化原则，可以将某一个活动过程划分为多个相互关联的阶段。基于前一阶段的决策结果，依次选择出各个不同阶段所处条件下可以选择的最优方案。通过这种方式，不仅可以确定当前状态到目标状态的最优值，而且还可以求出到中间状态的最优值，从而大大优化整个过程的经济效益。

由于用动态规划的思想解决问题，不仅可以令问题简化，而且可以避免计算的冗余。因此，动态规划问世后被广泛应用于生产调度，经济管理和优化控制等领域。

2动态规划算法介绍

两种解法的不同之处：

用递归法求解时会存在子过程重复求解情况，例如图1中因为求解fib（7）需要使用到fib（5）和fib（6）的值，所以计算机会依次递归对fib（6）和fib（5）的值。虽然在求解fib（6）时计算机已经递归求解出了fib（5）的值，但是当求解fib（7）的时候，计算机仍然会对fib（5）的值进行重复求解。这样就会大大增加计算时间。

而当采用动态规划法求解问题时，因为该算法对各状态的数值有所保存，故每个数值计算一次即可，当下次计算需要使用到相应数值时，直接采用即可。这样就避免了数据的冗余计算，从而大大地减少了计算的时间。

2.1动态规划的思想

从上面的例子可以看出：动态规划的本质是分治思想和解决冗余。它是一种将问题实例分解成更小和相似的子问题，通过存储子问题的解来避免相同子问题的重复计算的算法策略。

动态规划算法的关键在于找到基本的递推关系式和恰当的边界条件，即状态转移方程或基本方程。上面的例子就是在已知关系式的情况下求解问题，所以要减省许多步骤。题中的fib（n）公式就是相应的状态转移方程。

2.2建立动态规划模型的步骤

A. 对决策过程划分阶段

划分阶段是利用动态规划解决多阶段决策问题的第一步。在确定了多阶段特征后，根据时间或空间的先后顺序将该过程划分成若干相互关联的阶段。静态问题应该被人为地赋予“时间”概念，以便于划分阶段。

B. 对个阶段确定状态变量

选择的变量不仅要准确地描述过程地演变，还要满足无后效性，并且可以确定每个阶段状态变量地值。一般而言，我们是从过程演变的特点中寻找的状态变量。

C. 确定决策变量及允许决策集合

通常选择所求问题的关键变量作为决策变量，同时要给出决策变量地取值范围，即确定允许决策集合。

D. 建立个阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程

根据k阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变量，状态转移方程应当具有地推关系。

E. 確定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程

阶段指标函数是指第k阶段的增益，最优指标函数是指从第k阶段状态到第n阶段结束时所获得收益的最优值。最后，写出动态规划的基本方程。

2.3动态规划的优点

① 能得到全局最优解

② 能提高算法效率。从上面例子可见，用递归法求解斐波那契数列时，算法的时间复杂度为[o2n]，采用动态规划法时其复杂度为[on]，对比显然可见其效率的差异。

3动态规划在生活中的应用

3.1动态规划与日常购物

场景描述：

小明今天很开心，因为在家买的新房子即将拿到钥匙。新房里面有一间他自己专用的、非常宽敞的房间。让他更高兴的是，他的母亲昨天对他说：“你的房间需要购买什么物品？怎 么布置，你说了算，只要他们的价格总和不超过N元钱”。小明今天早上开始预算，但他想买太多的东西，肯定会超过母亲的N元限额。因此，他把对每件物品的渴望程度，分为5等级：用整数1->5表示，第5等表示最想要。他还从互联网上找到了每件商品（所有整数）的价格。他希望在不超过N元（可能等于N元）的情况下，将每件商品的价格与效益度的乘积的总和最大化。

（2） 动态规划法

① 问题分析：

根据这个题目，我们需要在金额一定的情况下求解舒适度最高的购物单，可见这是一个最优化问题。又因为小明在做出每一个选择都跟前面已经做出的选择有关，像这种子问题具有重叠性的最优化问题求解，动态规划占有很大的优势。

② 模型建立：

为了设计一个动态规划算法，我们需要推导出一个递推关系。下面，让我们来考虑一个由前i[1≤i≤K]个商品定义的实例。

设商品的价格依次为P1，P2，...Pi，商品对应的效益度分别为v1，v2，...vi，用户的预算为N元。式子dp[i][N]表示：在前i个物品中选择购买物品，在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与效益度的乘积的最大化的购物清单。

可以把在N元预算下，前i个物品的购买清单子集分成两个类别：包含第i个物品的子集和不包含第i个物品的子集。然后就有如下的结论：

（1） 根据定义，在不包含第i个物品的子集中，最优子集中每件物品的价格与效益度的乘积的总和为dp[i-1，N]；

（2） 在包含第i个物品的子集中[因此，N-Pi≥0]，最优子集是由该物品和前i-1个物品的购买清单的最优子集组成。这种最优子集中每件物品的价格与效益度的乘积的总和为[pi×vi+dpi-1，N-pi]；

（3） 因此，在前i个物品中最优子集的价格与效益度的乘积的总和等于这两个总和中的最大值。当然，如果当预算不足以购买第i个物品时，前i个物品中最优子集的价格与效益度的乘积的总和等于前i-1个物品中最优子集的价格与效益度的乘积的总和。这个结果导致了如下的递推式：

即所得购物单为：J1，J5，J6。

总结：当我们通过分析得到相应的动态规划状态方程时，用其求解问题的效率会优于普通的理论计算。

3.2动态规划与旅行路径选择

问题描述：

在一个风和日丽的假期，你和你的家人决定去度假放松一下心情，但是为了节约成本。你调查了你的城市到度假地点之间所有可能的线路以及每条线路上的花费。你想知道怎么选择一条具体的路线才能使你的城市到你的度假地点的总共的花费最少。

场景描述：已知从a地到e地有7条路径，其路径图如下图所示（图上的数字表示两地相应的花费）：

求解从a地到e地花费最小的路径。

（1） 问题分析：

首先，我先引入Floyed算法的相应的概念。Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，它主要用于求解完全最短路径问题，即找到每个顶点到其他所有定点之间的距离（最短路径的长度）。

其次，我们分析一下Floyed算法是否能用以求解此问题。分析如下：Floyed算法是已知两点之间的所有路径以及每条路径的长度，求取最短路径。而本题是已知两点之间的所有路径，以及每条路径的基础消费，求取消费最少的路径。可见，这里只是把“距离最短”换成了“消费最少”，其计算核心并没有改变。两者实属一种问题，我们可以暂且把“消费额”看成“距离值”，然后引用Floyed算法的相应思想，对问题进行求解。也就是说我们可以把求解的问题替代为求解最短路径的问题。两点之间最短路径问题分析思路如下：

从任意节点i到任何节点j的最短路径有两种可能性。一是直接从i到j，二 是从i经过若干个中间节点k 然后到j。因此，我们假设Dis （i，j）是从节点u 到节点p 的最短路径的距离。对于每个节点k，我们检查判断Dis（i，k） + Dis（k，j） < Dis（i，j）是否为真，如果条件为真，则表示从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis（i，j）=Dis（i，k）+Dis（k，j）。如此反复进行判断，当我们遍历完所有节点k，Dis（i，j） 记录的便是从i到j的最短路径的距离。

4结束语

从文中我们可以看出动态规划算法在解决多阶段最优决策问题上具有很大的优势，对比于递归算法，动态规划的算法效率更高。同时，我们可见该算法在我们生活中的实际案例的解决上发挥着强大的功能。但它也具有一定的局限性，因为每个问题对应的模型不同，要找到其相应的状态转移方程并不是一件容易的事情。因此，如何有效地运用动态规划来解决问题还待做进一步的探究。

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