层层渗透 有效揭示

徐忠良

摘要：应用题教学是初中数学的重点和难点之一。它的内容涵盖了方程、不等式、函数的几个方面。应用题教学方式多样、繁杂。书上虽然列举了解决应用题的基本步骤“审题——寻找（不）等量关系——设未知数——列出方程（不等式）”。但是这样的步骤过于笼统，缺乏教学的可操作性和诊断性。而教师往往按照自己的思考过程去分析讲解问题，很少站在学生的立场去看待问题的先后顺序和难易。本文的目的是以学生的思维角度出发，从纷繁复杂的应用题教学中理出一条可以作为指导性的线索，将应用题的教学结构清晰地呈现出来。根据这个结构分析现有的教学过程中产生的问题，并给出相应的对策，并从一个教学实例中说明了这种结构安排的教学有效性。

关键词：应用题；结构；有效性

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0036

一、应用题教学的结构安排

很多教程认为应用题的教学流程应该是审题——寻找（不）等量关系——设未知数——列出方程（不等式）。这样的结构既不具备可操作性又缺乏教学的诊断性。且这个过程没有体现学生从接受信息伊始的思维过程。

为此，笔者尝试将应用题的教学归结为以下的一个结构安排（图1）：

以上结构基于学生思维的由浅入深的过程，我们来分析这个过程的可行度：

初次读题，需要一个较为简单的任务目标——构筑生活情境。接下来，联想到一些与题目相关的基本模型，这些基本模型是大家都比较常见的或者通过思考容易得到的。接着设未知数，那么这个未知数有什么用？这是学生经常思维停滞的地方。在以上的结构安排中笔者的下一个任务是用已知条件和未知数去表示一些基本量。也就是说学生并不是只有找到了方程（不等式）以后才能用未知数，他可以在列方程之前就做点有用的事情。当做完这些事情后，题目的条件从无序状态变为有序状态，最终可以较为轻松地寻找出（不）等量关系。

例：用一个周长为30m的铁丝，围成一个面积为50平米的矩形，求这个矩形的长和宽（长>宽）

初次读题，容易想到将铁丝扭成矩形的过程；接着，学生会感知到本题是和长方形面积有关的，就容易联想到长、宽和矩形面积三个量，并且他们三者的关系是矩形面积=长*宽；随着基本关系和问题的清晰，就可以试着设未知数，这里学生会设此矩形的宽为x。

有了可以使用的已知量和未知量，就可以用代数式表达那些基本关系的量。一般来说，很多应用题的基本关系虽然是清晰的，但那些基本关系的量并不是直接给出，需要学生对已知条件和未知量进行合理的组合。比如这里面，宽已经设为x了，但是“矩形的长”无论是已知条件还是未知系数都没有直接告知，故我们可以将“长”用x的代数式表示出来。这个环节的作用随着题目难度的增加而变得明显，这会给解题减少很多盲目性。

以上都完成后，就可以尋找等量关系列出方程。这里等量关系应该是长*宽=矩形面积，此时长、宽、矩形面积的表示均已经到位，直接带入这个等量关系即可列出方程。

事实上一般的应用题教学流程均适用于以上的结构，对于简单的题目（比如上例），往往某些流程在极短的时间内就完成了。而对于那些比较复杂的题目，以上的流程可能需要被单独分解，甚至是详细讲解和讨论。

二、从结构中分析教师在教学过程中的误区及原因

误区一：从流程的执行顺序角度看，教学流程顺序混乱

比如：在读题过后，先找等量关系，再让学生设置未知量，然后用代数式表示基本量，最后列出方程。笔者认为这是一种严重的结构混乱。这里要指明一点，等量关系的寻找应该是最后确定的，因为等量关系的确定总是较为困难的一个环节。一开始应该是较为简单的思维活动，比如感知基本的数学模型。很多时候我们在读题后就将等量关系直接和学生说明或是给出了很明显的提示，然后再处理其他环节。其实，这是方便自己的行为。这样做的不利因素：学生的思维已经不是循序渐进、由浅入深的过程。而是一种被教师引导下的跳跃式的，无思考余地的思维过程。

例：一条环形跑道长400m，甲550m/min，已250m/min，若两人同时同向同地出发，则经过多少分钟甲第一次追上乙。

假如教师无视学生思维的渐进性，在读题后就将“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的长度”这个关系直接交给学生。这样此题对于学生的思考价值几乎为零。事实上，这道题目从学生刚接触的短暂时间里要弄清这个等量关系并非易事。我们教师要做的是在联想现实情境后，给学生感知基本模型，这里很明显是一个关于“速度*时间=路程”的基本模型。设经过x分钟后，甲追上了乙。此时，我们就可以表示一些量，比如x*550就表示甲的路程，x*250表示乙的路程，之后稍加思考即得出：“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的长度”可谓是水到渠成，这也是本题的教学价值所在。

误区二：从目标指向角度看，目标指向不明确

比如：我们给学生一个指令——请仔细审题。这是一个无效的指令，审题到底是帮助了解题目的实际情境，还是感知基本模型，还是寻找等量关系。由于目标指向的不明确，导致一部分学生虽然在“审题”，但是往往是机械地默读了一遍文字，没有起到很好的作用。

误区三：从任务的执行者角度看：执行者的选择错误导致效率低下

比如：最典型的例子是所有的步骤均在教师“引导”下完成，从读题到等量关系的确立。这是一个常见的教学误区。其不利之处在于：参与面狭窄，即便部分学生可以在教师的引导下思考，跟上教师的思路，但是参与面并不指向全体学生，部分学生在中途已经跟不上教师的思路，教学有效性自然低下。

例：一标志性建筑，地面呈正方形，在四周铺上花岗岩，形成一个宽为3m的正方形框。已知这个框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石，问标志性建筑地面边长多少米？

题目本身和面积有关。但是最容易想的等量关系是：“大正方形面积-小正方形面积=四周的花岗岩的面积。”但是由于这样一来，列出的方程会涉及到完全平方的展开，故不少教师将“等量关系的寻找”任务错误地交给了自己。事实上，我们只要在“计算”方面稍微宽容些，就可以让学生多一次独立思考的机会。

误区四：从各种任务的重要程度上看：容易忽略某些看似简单的任务

比如，读题虽然是一个阅读过程，但是要将具体情境展现在每个学生脑海中，并不是很简单的过程。现在的不少学生生活阅历较低，对于一些日常生活的处理根本没有经验，一旦数学和生活结合在一起，对应用题的恐惧心理可想而知。另外，设置未知数这一步看似简单，但实际这是将未知量作为可用条件的一个思维转换。否则设未知数只能作为一个形式，学生并未真正理解设未知数的意义。很多学生虽然会写“设……为x”，但是接下去就束手无策，这就是没有很好的理解未知数的作用而产生的结果。

例：教师和学生一共54人一起去公园，教师门票每人7元不打折，学生票价半折。门票总计206.5元，问学生共多少人？

学生可以很容易设“学生有x人”。但是有多少学生真正理解了未知数的意义呢？有不少学生之后列出了以下的方程：（54*7-206.5）/3.5=x。虽然也将其称为方程，但是这说明学生还是将未知数作为一种需要去解决的问题，而不是将它作为一种可以使用的條件参与到方程的建设过程。教师不仅需要让学生“设学生有x人”，更应该从思想上引导他们，有了这个x，就可以将x看做一个量，并且可以在任何的代数式和等式中使用。

三、从结构安排中分析部分学生在课堂中的特点

分析整个结构流程，我们会发现学生的学习效果之所以产生差别是因为对于任务完成的步调不一致。很明显的事实是学生在一节课中有着不同的理解深度，不同的思维速度和不同的起步知识。可以想象，一部分学生已经进入感知数学基本模型阶段时，部分学生还在通读题目，联想生活情境。一部分学生可以根据等量关系列出方程时，另一部分学生可能还在理解某些表示基本量的代数式。

例：先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成。已知单独工作，乙比甲多用2天，求甲乙工程队单独完成这项任务各需多少天。

将总工程量看做“1”，并且设甲需要x天，则乙为x-2天，由题意得方程：2/x+3/（x-2）=1。在这个过程中，基础较好的学生快速得出方程，但是部分学生正在思考这个“1”是哪里得出的？部分学生在思考为何设甲需要x天，甲的工作效率就是1/x。这些问题我们总是忽视但确实存在于课堂中的现象。

四、应用题教学有效性的建议

既然我们从结构中发现了教师在上课的一些问题和学生的思维差异，也找到了产生这些问题的原因。那么，我们就可以试着做出一些改变，避免这些消极因素对教学的影响。笔者给出以下几条建议：

1. 给予学生充分时间与空间去建立现实情境

学生的生活经验和社会阅历对于解决应用题非常关键。比如在买卖中涉及的一些原理：你买东西花成本，卖东西赚差价，每天也许还有其他支出；薄利多销，你单件的利润越小则销量往往越高；买300送100优惠活动等。学生有基本的生活经验，在解题中就会很自然地往那方面靠拢。

例：电信公司两种电话计费方法：方法A是每月收取月租费50元，此外通话时间按照0.4元/分收取。方法B是不收取月租费，通话时间按0.6元/分收取。问通话多少分钟，方法A的计费方法便宜？这是七年级的应用题，表面上看这个题目要用到不等式的知识。其实如果学生有生活经验，他们就会发现A的每分钟收取的费用比较少，而B的费用比较多，通话时间越久，A的优势就越大，虽然A前期亏了50，但是随着通话时间的增加，可以将亏损弥补回来。假如学生能够想到这一步。教师只需稍加引导：那通话时间为多少，则A费用和B费用相等呢？这个题目就非常用方程的思维去解决了。

2. 在“简单”的环节上多下笔墨。（参见上文“误区四”）

3. 建立有效的补偿机制

补偿上课过程中因学生理解力的不一致所带来的消极作用。教师的讲授速度参照了一部分同学的理解力，所以另一部分学生落后于教师的进度也是在所难免的。我们要让学生在步调不一致的时候得到帮助。解决这个问题最简单的机制就是有效的合作学习。合作学习的最大作用在于解决了学生完成任务的步调不一致，和产生问题后的及时帮助。合作学习对于理解力较弱的学生而言非常的有用。

例：商店里有种皮衣，每件售价600元可获利20%，现在客户用2800元的总价购买了若干件皮衣，而商家仍然获得了12%的利润，问客户买了多少件皮衣。

为了解决步调不一致，我们可以让四人小组为一个合作单位，规定好一号位学生说明这种问题涉及哪些量？二号位学生说明这些量的基本关系（一个简单的等式）；三号位学生说明“每件售价600元可获利20%”如何求出成本；四号位学生说明，x件皮衣，成本，利润率，总价之间的关系式。应该将这个合作任务呈梯度分配，难度小的由反应较慢的学生完成，难度较大的任务由反应较快的学生完成。一旦产生了理解上的步调不一致，则由基础好的学生讲解给基础差的学生听。

4. 坚持思维过程步骤化，目标指向明确化

我们可以想象一下运动员投篮时的动作分解。先用上臂的力量给篮球做功，再到下臂的法力，最后手腕波动篮球投出弧线。这个过程在比赛中看似一步到位，但是实际是分步完成的。同理，应用题教学应该坚持将思维过程步骤化，且每步应伴随着一个特定的目标。如果将这个理念一直渗透下去，学生解应用题的能力区别实际就是完成各个步骤的速度和质量的区别。题目有难易之分，对于简单的题目，我们应当让学生将思维过程快速通过各个任务。对于有难度的题目，我们更要让学生带着目标去完成逐级的任务。即便最后把问题不能圆满解决，但是从清晰的步骤中学生可以体会到自己哪些方法需要熟练，哪些语句值得注意。而且这种过程清晰的思维任务可以最大限度地避免学生花了时间却一无所获。

5. 选择有效的任务执行者

任务执行者可分为教师单独讲授，学生独立完成，学生合作学习，教师辅助引导。选择不同的任务执行者在解决任务中都有一定的优势和劣势。比如教师作为执行者可以让学生少走很多弯路，节约课堂时间，但不利于学生独立解决问题能力的培养，也不利于学生参与度的增加。选择任务执行者的原则是在有限的时间内实现最大的参与度与任务完成率。

五、一个良好的应用题教学流程分布及效能表

（注：流程執行者选择中，教师——教师单独的讲授和分析；学生——学生独立的思考与分析；合作——学生之间有效的合作学习；辅助——在教师引导下的学生思考活动）

这个表中，我们最终将所有任务落实在参与度和完成度上。笔者认为，一个有效的应用题教学应该是：在合适的时间分配内，有着较高的参与度和完成度。

六、具体实践案例

题目：某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元。如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时？

我们可以根据的《应用题流程分布及效能表》和具体题目特点，在具体任务划分，时间分配，具体执行者选择等方面做好安排，并做好记录（以下记录数据与事实存在微弱偏差，完成度项目部分不可计数）：

1. 初次读题，了解生活背景

本题涉及到的实际情景比较清晰。所以选择学生独立完成。绝大多数学生在给定的时间内可以了解以下事实：一天要处理700吨，甲、乙两个垃圾处理厂分别处理一些垃圾，将垃圾处理完。每处理一吨垃圾，需要一定的费用。

时间分配：1分钟，参与度：100%，完成度：不可记

2. 感知数学概念

本题的涉及基本概念，本质是单价、数量、总价的问题。但是学生需要一些具体的描述就能更好地理解。这个过程中，教师虽不直接参与讲授，但在多媒体上可以给出一些描述：每小时处理垃圾的费用；处理时间；总费用。学生根据提示独立理解这些量的意义，并完成三个量之间数学关系。

时间分配：1分钟，参与度：100%，完成度：98%

3. 设置相关未知数

八年级学生已经不像七年级学生那样对未知数感到害怕，多数学生可以独立从问题那里得到“设甲长每天至少处理垃圾x小时”。但是考虑到这个x出现在不等式类型中，教师需提醒学生避免受“至少”这种词对分析题意的干扰：“这个x就相当于一个确定的量，大家将整句话理解为‘设甲长每天处理x小时即可。”

时间分配：0.5分钟，参与度：100%，完成度：不可记

4. 用代数式表示基本量

这里要学生表示的量有这些：（1）乙处理的时间；（2）甲处理的费用；（3）乙处理的费用。这道题目的难点在于如何根据已知条件和未知量x来表示乙的处理时间。而且考虑到学生对于数据处理上的步调不一致。在独立思考后，给学生小组合作。

时间分配：3分钟，参与度：90%，完成度：78%

5. 独立思考，寻找不等量关系，并列出不等式

大屏幕给出提示：在这个问题中的不等量可以从以下几个方面寻找：（1）生活中的常识与经验；（2）题目中的关键语句。

时间分配：2分钟，参与度：95%，完成度：80%

完成整个题目控制在8分钟左右。教学效果良好，不少基础较差的学生也积极参与到思考与讨论中来，参与度很广；由于任务与思维难度呈阶梯状上升，使得学生思维的条理性增加，且有效合作在一定程度上降低了理解不同步的状况，相应的任务完成度也较为理想。

七、结束语

应用题对于培养学生分析问题，解决问题大有益处。他也是方程思想和不等式思想的主要体现。笔者从学生思维的角度将应用题的思考过程加以过程化，目标化。实践证明，从课堂的参与度和完成度看，本文讨论的应用题教学结构安排适合绝大多数学生的课堂学习，它避免了学生学习和教师教学的盲目性。长期地坚持这一教学过程，对于整体提高教师的课堂有效性有积极的作用。

参考文献：

[1] 李铁按.课程标准案例式解读——初中数学[M].北京：教育科学出版社，2012.

[2] 欧阳新龙.数学课程标准（2011版）解读[M].武汉：湖北教育出版社，2012.

[3] 奚根荣.初中数学有效教学实用课堂教学艺术[M].北京：世界图书出版社，2009.

[4] 何乃忠.新课程有效教学疑难问题操作性解读[M].北京：教育科学出版社，2012.

（作者单位：浙江省杭州市余杭区星桥中学 310000）