韩信“点”兵

李观银

传说汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼，说：“你顶多能带十万兵吧！”

汉高祖心中有三分不悦，说：“那你呢？”心想：你竟敢小看我！

韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善喽！”

刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此了不起，我很佩服.现在我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的才能，答起来一定不费吹灰之力.”

韩信满不在乎地说：“可以，可以.”

刘邦狡黠地一笑，叫来一小队士兵隔墙站队（不足100人），刘邦发令：“每三人站成一排.”

队伍站好后，小队长进来报告：“最后一排只有两人.”

刘邦又传令：“每五人站成一排.”

小队长报告：“最后一排只有三人.”

刘邦再传令：“每七人站成一排.”

小队长报告：“最后一排只有两人.”

刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”

韩信脱口而出：“二十三人.”

刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：此人本事太大，我得想法找个借口把他杀掉，免生后患.于是刘邦佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎么知道的？”

韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，算经中載有此题之算法，口诀是：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知.”

刘邦出的这道题，用现代语言可这样表述：一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这个数不超过100，求这个数.

《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得.凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得.”

用现代语言解释这个解法就是：

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15.

所求数被3除余2，则取数70×2=140，140是被5与7整除而被3除余2的数.

所求数被5除余3，则取数21×3=63，63是被3与7整除而被5除余3的数.

所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2 的数.

又因为140+63+30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两个数被3除的余数相同，都是余2.并且，233与63这两个数被5除的余数相同，都是3.同理，233与30被7除的余数相同，都是2.所以，233是满足题目要求的一个数.

而3、5、7的最小公倍数是105，故233加、减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.由于所求的一小队士兵的人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23，即是所求.

这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”“鬼谷算”“隔墙算”“剪管术”“神奇妙算”等，题目与解法都记载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中.宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”.这个解法传到西方后，被称为“中国剩余定理”.而韩信，则最终被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫.

（作者单位：江苏省句容市天王中学）