与整式相关的二次根式巧算

我学习二次根式时，遇到了形形色色的运算题.有一道题目费尽周折，让我对它印象特别深刻，它告诉我，运算时要灵活变形，从而运算起来会更简便.

题目：已知[a]=[2]+1，求a3-a2-3a+2017的值.

思考：如果直接将[a]代入计算，则会出现（[2]+1）3，显然很烦琐.如果将a提取出来，变为a（a2-a-3）+2017，计算量依然很大.

当时我的做法是，将前两项中的a2提取出来，变为a2（a-1）-3a+2017，再将a=[2]+1代入，原式=（[2]+1）2×[2]-3×（[2]+1）+2017=2018.

后来听了老师讲评，我觉得自己的做法显然比较复杂，于是重新思考，得出如下方法：

从已知条件出发，由a=[2]+1可以得出a-1=[2]，变形还可得a2-2a+1=2，即a2-2a=1，a2=1+2a.再看a3-a2-3a+2017，前两项都有a2，而已知条件有a2=1+2a.所以原式=a2·a-a2-3a+2017=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2017=2a2+a-2a-1-3a+2017=2a2-4a+2016=2（a2-2a）+2016，再次利用a2-2a=1，原式=2+2016=2018.

將代数式变形开拓了我的思路.既然老师说过要学会将未知转化为已知，那能不能将所求的式子转化为已知式子呢？于是我又开始尝试.

已知a2-2a=1，变形可得a3-2a2=a，要从a3-a2-3a+2017变形出已知式，需将a2拆分成

-2a2+a2，所以a3-a2-3a+2017=a3-2a2+a2-3a+2017，继续变形为a（a2-2a）+a2-2a-a+2017=a+1-a+2017，此时a完美抵消，结果为2018.

反思：通过这道题目，我发现遇到与整式有关的二次根式运算题时，可灵活变形，从而实现简便运算的目的.

教师点评：孙思佳同学完美展示了一道题目从复杂到简便的思维过程.学会巧算应该是所有同学必修的功课.对于与整式相关的二次根式运算题，我们需要运用整体、降次、消元等思想，灵活将代数式进行变形，从而达到事半功倍的运算效果.

（指导教师：何春华）