解析二次根式中的四类常规问题

龚邦选

二次根式的性质及运算是中考的必考问题，其难度一般为容易或中等.下面就以近几年部分中考题为例，和大家一起探讨，希望为大家带来一些思考和借鉴.

一、字母取值范围的求解

例1（1）（2017·徐州）使[x-6]有意义的x的取值范围是 .

（2）（2017·呼和浩特）使式子[11-2x]有意义的x的取值范围是 .

（3）（2016·广州）若代数式[xx-1]有意义，则实数x的取值范围是 .

A.x≠1 B.x≥0

C.x>0 D.x≥0且x-1≠0

（4）（2017·绵阳）使代数式[1x+3]+[4-3x]有意义的整数x有（ ）.

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

【解】（1）根据题意可得x-6≥0，解得x≥6.

（2）根據题意可得1-2x>0，解得x<[12.]

（3）根据题意可得x≥0，x-1≠0，故选D.

（4）根据题意可得x+3>0，4-3x≥0，解得-3

【评析】统观近几年各市中考题，不难发现字母取值范围的问题在中考中经常出现，而利用二次根式的定义、被开方数大于或等于零以及分式中分母不为零，可解决上述一类问题.

二、二次根式非负性的应用

例2（1）（2015·绵阳）[a+b+5]+[2a-b+1]=0，则（b-a）2015的值为（ ）.

A.-1 B.1 C.52015 D.-52015

（2）（2016·泰州）若实数a，b满足[a+1]+4a2+4ab+b2=0，则ba的值为（ ）.

A.2 B.[12] C.-2 D.-[12]

（3）（2016·扬州一模）若y=[x-4+4-x2]

-2，则（x+y）y= .

【解】（1）因[a+b+5]≥0，[2a-b+1]≥0，而它们之和为0，则[a+b+5]=0，且[2a-b+1]=0，解得a=-2，b=-3，故（b-a）2015=

-1，故选A.

（2）根据题意得，[a+1]+（2a+b）2=0，则a=-1，b=2，故选B.

（3）根据题意得x-4≥0且4-x≥0，则x=4，y=-2，故（x+y）y=[14].

【评析】二次根式[a]（a≥0）表示a的算术平方根，所以[a]≥0这个性质也是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似.对于二次根式非负性的应用，常见的是几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，这一性质在解题中的应用很广泛.

三、[a2]与（[a]）2

例3（1）（2017·济南）若（[a]）2=5，则a= ；若[a2]=5，则a= .

（2）（2016·南充）下列计算正确的是

（ ）.

A.[12]=2[3] B.[32]=[32]

C.[-x3]=x[-x] D.[x2]=x

【解】（1）因为（[a]）2=5，所以a=5；因为[a2]=5，所以a=±5.

（2）选项A，[12]=2[3]；选项B，[32]=[3×22×2][=62]；选项C，因为-x3≥0，所以x≤0，所以[-x3]=-x[-x]；选项D，需要对x的符号进行讨论.故选A.

【评析】[a2]与（[a]）2是比较容易混淆的知识点.（[a]）2中a的取值范围为a≥0，[a2]中a的取值范围为任意实数.（[a]）2化简结果为a，而[a2]化简结果需要讨论，若a≥0，则[a2]=a；若a<0，则[a2]=-a.解题中一定要注意，不能把它们混淆.

四、二次根式的计算与化简

例4（1）（2017·南京）计算[12]+[8]×[6]的结果是 .

（2）（2015·南京）计算[5×153]的结果是 .

（3）（2016·上海）计算[12-13]-[38]+[2-3].

【解】（1）原式=2[3]+4[3]=6[3]；

（2）原式=[5]×[5]=5；

（3）原式=2[3]-[33]-2+2-[3]=[23][3].

【评析】二次根式的性质是二次根式计算和化简的重要依据；二次根式的乘、除是二次根式性质的逆向运算；二次根式的加、减只对同类二次根式进行合并；二次根式的运算结果必须要化为最简二次根式.这几点同学们一定要注意哦！

（作者单位：江苏省句容市后白中学）