基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析

孟德泉 应黎坪 杨欣欣

摘要：从细观角度分析再生混凝土的力学特性，以往都是将再生混凝土视为由骨料、新砂浆、新界面、老砂浆、老界面五相介质组成的复合材料来分析，为了简化这种常规五相再生混凝土模型，提出了基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法。首先运用三相球理论模型将再生混凝土中的老砂浆、新界面、老界面三相介质等效成一种介质，得到三相介质的再生混凝土界面等效模型；然后利用势能原理的基面力元法编制出损伤基面力元程序，对不同尺寸的再生混凝土试块进行单轴拉伸试验模拟。给出了应力-应变曲线及破坏过程图，并与普通五相模型进行了对比，两种曲线基本吻合。因此，等效模型可以代替普通五相模型，从而简化多相再生混凝土的损伤分析，提高模拟效率。

关键词：混凝土与钢筋混凝土结构；再生混凝土；三相球模型；界面等效模型；基面力元法

中图分类号：TU528文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04004

再生混凝土五相介质细观分析模型给数值模拟带来了许多不便和本构复杂性，以往提出的格构模型[1]、随机粒子模型[2]、MOHAMED[3]等的细观模型、随机骨料模型[4-7]、随机力学特性模型等[8-9]，也大多不能脱离再生混凝土五相介质的复杂力学性质对数值模拟分析造成的不便。另一方面，对复合材料的等效模量的预测，很多专家也提出了很多模型，包括Voigt模型、Reuss模型、Hansen模型、Mori-Tanaka法[10-14]等。1980年，RAO[15]将三相球模型运用于预测两相复合材料的有效模量；1996年，卢子兴等[16]运用三相球模型对泡沫塑料的有效模量进行了预测；2012年，DU等[17-18]在三相球模型的基础上对含孔隙混凝土复合材料有效力学性能以及考虑过渡区界面影响的混凝土宏观力学性能进行了研究。

第4期孟德泉，等：基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析河北工业科技第35卷2003年，GAO[19]提出一个描述应力状态的新概念——基面力，随后PENG等[20]提出了一種新型的有限元——基面力元法（BFEM），利用“基面力”概念和势能原理，建立了三角形基面力元模型，并对不同尺寸的再生混凝土试件的单轴拉压特性进行了分析；2016年，PENG等[21]在此模型基础上采用分段曲线损伤模型作为损伤本构模型，对随机凸形骨料模型的再生混凝土进行了单轴拉压试验模拟。

综上所述，本文提出一种基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，运用两次三相球模型，将再生混凝土老砂浆、老界面、新界面三相介质等效成一种介质，得到此等效部分的有效模量，形成由骨料、新砂浆、等效体三相介质组成的界面等效模型，使用基面力元法损伤分析，简化了多相再生混凝土的损伤分析，提高了模拟效率。

1再生混凝土界面等效模型

1.1骨料与新砂浆过渡区特征

再生混凝土是一种多相复合材料，并且再生混凝土中再生骨料和砂浆之间存在着物理力学性能截然不同的过渡区层面[22-24]。SIMEONOV等[25]、LEE等[26]都对混凝土过渡区层面进行了研究，可见再生混凝土的界面过渡区特别重要。本文先采用Monte-Carlo法对骨料颗粒进行随机投放，形成五相再生混凝土随机骨料模型（见图1），为后面过渡区等效处理作准备。

1.2界面等效化步骤

本文对老界面、老砂浆、新界面三相介质的等效采用两步等效：第1步等效，老界面和老砂浆的等效生成等效体A；第2步等效，等效体A和新界面的等效生成等效体B。图2为等效化过程。

将老界面和新界面看成含有不同孔隙率的老砂浆，而二者中间的老砂浆看成无孔隙。三相球模型见图3。在第1步等效的时候将等效体A里的孔隙作为夹杂相，体积模量、剪切模量都为0，基体相为等效体A里的老砂浆；在第2步等效的时候将等效体B里的孔隙作为夹杂相，相应的体积模量、剪切模量都为0，基体相为等效体B里的老砂浆。

1.3第1步等效

首先对再生混凝土随机五相模型进行网格划分，计算确定各网格单元中骨料、老界面、老砂浆、新界面、新砂浆的体积分数分别为Ca，Coit，Cm，Citz，Cmo（下同）。显然：

Ca+Coit+Cm+Citz+Cmo=1。 （1）

设定老界面的孔隙率为coit，老界面和老砂浆两部分（等效体A）的孔隙率c*A为

c*A=coit=CoitCoit+Cm。（2）

根据文献＼[15＼]三相球模型推导，可知含孔复合材料的等效体A等效体积模量K*A为

K*A=4Kmμm（1-c*A）（4μm+3Kmc*A）， （3）

式中：Km，μm分别代表老砂浆的体积模量和剪切模量。

根据文献＼[10＼]，本文模型的泊松比变化较小，等效泊松比可采用横向串联模型来预测，即等效体A的泊松比为ν*A：

ν*A=νoitCoitCm+Coit+νmCmCm+Coit。（4）

当研究对象为各向同性材料时，其独立的弹性常数只有2个，所以只要先确定了等效体A的等效体积模量和等效泊松比，就可以确定它的等效弹性模量E*A：

E*A=12Kmμm（1-c*A）（1-2ν*A）（4μm+3Kmc*A）。（5）

根据文献＼[12＼]，采用Hansen模型，含孔复合材料中等效体A的等效强度f*A与等效峰值应变ε*A为

f*A=fm（1-1.22（c*A）2/3），（6）

ε*A=fm（1-1.22（c*A）2/3）E*A。（7）

1.4第2步等效

第2步等效为等效体A与新界面的等效，设新界面的孔隙率citz，同第1步等效，那么孔隙占据新界面和等效体两部分的等效体B的孔隙率c*B为

c*B=c*ACoit+CmCoit+Cm+Citz。（8）

将得到的等效体B的孔隙率c*B和等效体A的等效体积模量K*A、等效弹性模量E*A、等效强度f*A以及等效峰值应变ε*A对应地代入式（3）、式（5）—式（7），得到了等效体B的等效体积模量K*B、等效弹性模量E*B、等效强度f*B以及等效峰值应变ε*B。同样的，等效体B的泊松比为

ν*B=ν*ACm+CoitCm+Coit+Citz+νitzCitzCm+Coit+Citz 。 （9）

五相随机模型等效为三相的界面等效模型效果图如图4所示。

本文没有采用老界面、老砂浆和新界面一步等效为一相介质，采用的是两步等效方法，即先将老界面和老砂浆等效为一相介质，然后再将生成的等效介质与新界面等效为一相介质。虽然两种方法求得的孔隙率（老界面与新界面中的孔隙占老界面、老砂浆和新界面的体积比）是一样的，但是根据式（3）—式（5）和式（6）、式（9）分两步等效得到的等效剪切模量、等效弹性模量、等效强度、等效泊松比都会更为准确。

2基面力元法模型

基面力元法控制方程指依据势能原理的基面力元法，使用位移梯度作为基力的共轭变量来建立新的有限元方法的控制方程。PENG等[20-21]基于“基面力的概念”推导出一个三角形基面力元刚度矩阵的显式表达式。图5为一个考虑边界的三角形基面力元，用I，J，K表示各顶点，uI，uJ，uK表示各顶点的位移。

基面力单元的刚度矩阵可以表示为

KIJ=E2A（1+ν）×

2ν1-2νmImJ+mIJU+mJmI，

I，J=1，2，3，（10）

式中：E为弹性模量；ν为泊松比；A为单元面积；U为单位张量，U=PαPα=PαPα；mIJ=mI·mJ。其中Pα是基本向量；Pα是Pα的共轭向量；mI表示为

mI=mIαPα=12（LIJnIJ+LIKnIK），（11）

式中：LIJ 和LIK分别是单元中IJ和IK的边长；nIJ和nIK分别是单元中IJ和IK的外部法线。

对于平面问题，式（10）可以用E来代替E1-ν2，用ν代替ν1-ν。

3再生混凝土单轴拉伸试验模拟

3.1损伤本构模型

本文针对再生混凝土材料损伤特性，采用较为常用的双折线损伤本构模型，但是为了更好地适合再生混凝土破坏机理，又对双折线损伤本构模型的极限阶段进行了调整，认为在此极限阶段应力会从残余应力下降至零。双折线损伤模型如图6所示。

ε0是单元应力达到抗拉強度时的主拉应变，εr是残余应变，εu是极限拉应变，ft是抗拉强度，ftr是抗拉残余强度。

3.2加载模型

本文基于再生混凝土等效界面模型，模拟再生混凝土的单轴拉伸试验模型，见图7 a）。通过对试验模型的本质简化，认为本文单轴拉伸试验模型的立方体试件底边所有结点的竖向位移均被约束，而中间结点的水平位移及竖向位移都被约束住，简化后的加载模型见图7 b）。

3.3材料参数

试验所用再生混凝土由五相介质组成，其粒径、颗粒数满足富勒级配曲线，砂浆层厚度选用较常采用的42%，选取与文献＼[23—24＼]相同的材料参数进行试验模拟，各相介质的参数见表1。基于界面等效模型，对100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3组试件进行单轴抗拉试验模拟。先根据文献＼[12＼]里含孔复合材料的有效强度、抗拉强度和孔隙率的关系（即式（6））反推算出老界面、新界面里老砂浆的孔隙率分别为6.63%和663%，再结合表1中老界面、老砂浆、新界面的弹性模量、泊松比、抗拉强度相应代入式（4）—式（6）和式（9），最后生成等效后的三相再生混凝土的材料参数（见表2）。

考虑尺寸效应带来的影响，选择100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm的3组试件为代表，采用界面等效模型，基于基面力元法进行单轴拉伸试验模拟，运用Fortran编程语言软件中QuickWin图形显示模块得到破坏过程图，如图8所示。图中每个试件初始图像都为无损单元，对应的深灰色填充单元为损伤单元，最后的黑色部分为破坏单元。

从图8中可以看出，裂缝从再生混凝土等效模型的等效界面处开始产生，即裂缝从各相介质中低强度介质开始破坏，然后裂纹沿着周围骨料的等效界面蔓延破坏，最后横向贯穿。由此说明试验模拟效果较好，符合混凝土试验拉伸破坏规律。

运用自己编制的基于再生混凝土界面等效模型的基面力元损伤分析的Fortran语言程序，对100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3种尺寸等效界面模型再生混凝土试件进行平面应力分析，得到了每个试件的应力-应变曲线，如图9所示。

从100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3种尺寸等效界面模型再生混凝土试件的破坏曲线与普通五相随机骨料模型再生混凝土试件的应力-应变破坏曲线的对比图（图9）中可知：由基于界面等效模型的再生混凝土基面力元法细观损伤分析程序计算的100 mm×100 mm，150 mm×150 mm，300 mm×300 mm等3种试件的界面等效模型的抗拉强度分别为2.68，259和2.43 MPa；普通五相随机骨料模型的抗拉强度分别为2.73，264和2.48 MPa；综合文献＼[27—28＼]可知，再生混凝土试验抗拉强度均在2.0～3.0 MPa之间，这是由于再生粗骨料的来源以及损伤本构选取的不同而导致结果离散。在符合试验允许范围的基础上可以看出，与普通五相随机骨料模型的抗拉强度相比，等效模型的抗拉强度误差不大，只是在极限应变上较小一些，综合看来，基本吻合。

4结论

本文从研究再生混凝土的细观角度出发，提出了一种新的细观再生混凝土数值模拟分析新方法——基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，利用此模型对3种代表性尺寸再生混凝土试件进行了单轴拉伸试验数值模拟，并与随机骨料模型进行了对比，得出的结果在符合试验允许范围的基础上，得到以下结论。

1）基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析方法，由于再生混凝土分析介质相数的减少，使得分析模型得以简化，降低了损伤分析的复杂程度。

2）采用基于势能原理的基面力元法分析，刚度矩阵为显式表达式，无需数值积分，提高了数值模拟的计算效率和精确度。

3）通过数值模拟结果对比，说明了新的再生混凝土界面等效模型可以替代普通五相模型。

本文模拟的再生骨料是球形，对应的是卵石混凝土破碎，但在实际工程中大多建筑破碎为凸形，再生骨料即为凸形骨料，以后可以就再生凸骨料模型进行研究模拟。此外，本文建立的模型都是二维平面，对再生混凝土进行数值模拟的结果良好，但不能反映真实三维试件的损伤情况，由于实际工程中的试件及骨料均为三维，在以后的研究中可建立三维界面的等效模型。

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