轨迹方程求解的常用方法

2018-09-10王美莹王金芝

现代盐化工 2018年4期

王美莹王金芝

摘要：轨迹是满足一些几何条件的点的集合，而方程就是一些实数对的集合，那么求点的轨迹方程就是根据已知点的坐标的运动规律，再去找变量间的关系的方程。解决轨迹方程基本问题的核心就是曲线和方程的相互转化，在求轨迹方程的时候，要着重研究从题中分析出来的几何性质，从而找到适当的方法。本文主要研究各种类型的轨迹方程的求法。

关键词：轨迹；方程；变量；动点

求動点的轨迹方程是一个综合性的知识，用代数的方法研究平面几何图形的性质，轨迹问题是高考中的一个难点，它涉及知识面广（例如三角函数、向量、几何等知识）、方法灵活多变、技巧强，能够考察学生各方面的能力，本研究介绍了求轨迹方程的几种方法如直接法、待定系数法、相关点法、参数法等，并举出其相应的例子。

1 求轨迹方程的常用方法

1.1直接法

如果动点满足的几何条件就是一些几何量之间的等量关系，或者这些几何条件简单明了并且易于表达，再写成x，y的等式。

点评：（1）如果在题中动点的规律的等量关系很明显，那么直接将此数量关系代入，然后求轨迹。（2）有时候动点规律的数量关系不明显，这时就可以根据平面几何中的性质、中线定理、勾股定理、垂径定理等等，从而分析出它们的数量关系。

1.2待定系数法

若己知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可以直接设出含有待定系数的方程，再根据题中动点所满足的条件，从而求出待定的系数，即得到动点的轨迹方程，或者称这种方法为定义法。

1.3相关点法（代入法）

与动点M（x，y）相关的点P（X0，Y0）在己知曲线运动，将X0，Y0表示X，y的式子代入P点的方程，整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程。

1.4交轨法

如果所求轨迹的动点是两条曲线（或直线与曲线或直线与直线）的交点，即可联立这两条曲线（或直线与曲线或直线与直线），得到动点的坐标关系式。