本福德定律在内部审计中的应用

邓佳军

[摘要]本文介绍了本福德定律（Benford's law）的内涵及其在审计实务中的适用性，通过W公司采购业务内部审计的真实案例，探讨如何具体应用此定律并总结了实践中应注意的问题 。

[关键词]本福德定律 采购 内部审计 数据分析 舞弊

一、本福德定律的内涵及适用性

本福德定律描述的是在满足特定条件情况下，大量统计数据中阿拉伯数字1-9在数据首位出现的概率分布规律。数学表述为：在b进制中，以数n开头的数出现的概率为logb（n+1）-logb（n）。在十进制中，首位数字出现的概率见表1，由此可知，数字越大，以该数字为首位的数出现概率就越低。

该定律适用范围广泛，如世界各国人口数量、各国国土面积、街道上的门牌号等数据，把来源不同的数字混合起来，或者进行加、减、乘、除运算之后，多数财务数据符合本福德定律分布特点。我国审计工作发展规划要求大力推广先进审计技术方法，积极探索信息化环境下的新方法，提高审计工作效率和质量，因此，在我国内部审计中研究应用本福德定律具有重要意义。

二、本福德定律的应用实例

以W公司的物料采购审计项目为例，使用本福德定律进行数据分析和审计风险识别。

W公司技术领先，提供成套解决方案，拥有可靠的产品和技术，然而采购成本一直居高不下，采购团队人员流动性较大，采购经理职位更换频繁。为此，管理层要求进行物料采购流程审计，评估采购职能是否存在舞弊。

根据审计方案要求，审计人员开始对供应合同、采购订单、采购计划、 供应商资料等进行收集。W公司使用的是SAP系统，其中包括20万行采购请求、600多家供应商，如此巨大的数据量在短期内全部审核是不可能完成的。因此，审计人员决定基于本福德定律确定数据偏差来快速获取有效样本。

第一步，审计人员通过系统查询获取公司开业至今的所有采购订单，剔除空值或带有删除、取消标识的订单行，得到接近15万份有效采购订单。

第二步，将这些订单数据加载到Excel表格中，针对采购金额一列，可使用left函数，将金额第一位数字取到单独一列，这样就得到各个采购订单行金额对应的首位数字。应注意的是，对小于1元的采购订单，需要取小数点后第一位的数字作为首位数。

第三步，制作数据透视表，以首位数为行向量，对采购订单行计数，得到按照首位1-9排列的采购订单行数量（见表2）。

第四步，进行数据检验。要准确判断数据是否为自然生成，需要计算两个指标，分别为K-S值和截止值。K-S值是数据的实际概率值与期望概率值差异的最大值，使用Max函数计算；截止值是1.36除以数据条目数的平方根，使用SQRT函数计算。将两个指标值进行对比，如果K-S值低于截止值，那么可以判定数据为自然生成，没有经过人为修饰，反之就有造假的风险。

由表2可见，计算出的K-S值和截止值分别为0.3%和0.4%，说明表中所示的首位数分布和本福德定律的标准比率基本吻合，差异很小，采购订单金额分布属于正常情况，K-S值小于截止值的验证，说明数据属于自然生成，从整体上看没有经过人为修饰。但整体符合并不意味着个体符合，仍然需要对整体数据进行分层，如从物料类型、供应商等角度。下面以采购额前十大供应商的首位数分布情况（见表3）为例，来判断各主要供应商个体是否存在数据异常情况。

如果按照供应商代码来分层统计，可见供应商明显出现了分化。尽管多数供应商能够较好地符合本福德比率，但供应商112511首位为2的比率占到22%，为该组数据最高；供应商102336首位为5和6的比率明显偏高；尤其是供应商190274，几乎没有一个比率符合本福德定律的规律。于是，审计人员决定针对供应商190274的数据单独进行深入分析，寻找差异原因，其分布结果见表4。

通过进一步计算，可以看到K-S值是截止值的3倍多。因此，可以判断该供应商的訂单金额有人为修饰的可能，需要进一步进行检查。根据采购订单记录，审计人员发现该供应商主要提供金属铸件，每一个物料都是为不同项目采购的，从不同物料价格分析比对似乎看不到什么问题，且涉及的采购订单也有1500多行。但其中首位为1和3的比率差异最大（分别为10.4%和9%），故选择以此为突破口展开分析。从铸件的成本驱动因素考虑，采购金额取决于材料的品种、标号、重量。审计人员选择了采购日期最近的一批物料，按照基础材料进行归类，与公司工程部门核实物料的尺寸、重量和材料标号等属性信息，然后根据采购价格计算出基础材料单价，使数据信息具有可比性，将其整理后见表5。结果是显而易见的，基础材料为GGG-40.3的物料，公斤单价为32元、15元、46元不等；基础材料为WP53 106的物料，价格也是忽高忽低，显然存在采购价格管理问题。针对这个发现，需要核对采购合同关于原材料价格的协定，复核其准确性、合理性。

三、本福德定律的应用结论与建议

W公司采购流程审计体现了本福德定律用于内部审计数据分析的有效性，极大地提高了审计效率。因此，在审计领域引入本福德定律，是对常规审计数据分析方法的补充，可以完善和丰富现有方法，提高舞弊发现能力。必须指出的是，出现不符合本福德定律的情况时，只能判断数据可能存在人为修饰，或者看到舞弊行为的预警信号，但不能直接下结论，还需进一步调查并找到充足审计证据才能判断流程问题甚至舞弊行为的存在。同时，在应用本福德定律时要注意以下方面：第一，数据量需要足够大，必须跨越多个数量级才能产生效果。第二，有人为规则的数据就不满足该定律，比如订单编号、发票编号等数据。在实务中，审计人员还要注意选取满足本福德定律分布的数据进行验证，才能做到有的放矢。

（作者单位：南京大学，邮政编码：210093，

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