基于MINITAB的飞机辅助动力装置的寿命分析

陈振中 贾宇航 李海峰 张弛 王航超

摘要：飞机辅助动力装置（APU）是现代客机上的一种小型涡轮轴发动机。本文对大量采集到的APU使用寿命数据进行分析，通过建立相应的可靠性寿命模型，利用MINITAB软件对APU的寿命及可靠性进行研究。

关键词：APU;寿命; MINITAB; 可靠性

0引言

APU是飞机上独立于航空发动机的动力装置，主要作用是为飞机提供电力、压缩空气并且保障飞机在地面时的正常工作^[1]。飞行安全是航空企业首要任务，在此基础上，确定科学合理的维修周期、减少航材库存、提高经济效益是航空公司探讨的一个问题。MINTAB软件是现代质量管理统计领域的广泛应用的软件之一，是六西格玛管理中必需的统计分析软件^[3]。本文使用MrNTAB软件中的可靠性性存模块对某型客机APU的实际使用寿命数据进行分析，在满足显著性水平的条件下选择最优的寿命分布模型，并在此基础上分析了APU的可靠性。研究结果可以对APU的寿命预测以及检测周期的确定提供有益的参考。

1利用MINTAB对数据进行拟合

1.1最小二乘法

常用的数据拟合方法主要有最小二乘法和极大似然估计法，本文采用最小二乘法对APU寿命数据进行拟合。最小二乘法的基本原理是将回归线拟合到数据集中的点来计算，而这些点的值与实际观测值之间的偏差平方最小。最小二乘法提供了一种对分布参数高效且无偏的估计法。此方法常用于一元线性、多元线性和非线性回归^[4]。

如果数据分布是非线性的，就需要将分布函数进行二次取对数，然后进行变量替换，使参数线性化，从而运用最小二乘法估计参数^[5-6]。以威布尔分布为例：对等式两边取两次对数可得到

Inln[1-F（x）]=βlnη-βlnx （2）

则令：

X=In x

（4）

A= -βlnη

（5）

B=β

（6）

那么式（2）可以以线性方程给出，即

Y=A+BX

（7）

此时采用最小二乘法对该线性方程的未知参数进行求解，则有：

1.2数据拟合

本文采用南航沈阳维修基地2016年APU维修数据共100组。表1为2016年南航维修基地APU维修数据。A、B两组数据是随机抽取的2016年各50组APU的使用时间。从中随机选取A组50组数据对APU寿命数据利用最小二乘法进行拟合。

在MINITAB中输入APU寿命数据，并利用最小二乘法对APU寿命数据进行拟合，并得到威布尔分布、正态分布、指数分布、对数正态分布四种分布的分布概率图以及对应的相关系数。四种分布模型的拟合优度统计如表2所示。

Anderson-Darling统计量（即A-D值）是Anderson和Darling对K-S拟合优度检验的一种修正。A-D检验较K-S检验加重对尾部数据的考量^[7]。A-D值越小，表明分布模型与数据拟合度越高。

通过观察四种分布的相关系数，威布尔分布的相关系数为0.996最接近1，并且从表1可知威布尔分布的相关系数值最大。因此我们选择威布尔分布模型作为描述APU寿命可靠性的数学模型。

通过MINTAB软件的计算拟合的到APU寿命威布尔分布模型的各项参数：β=3.62005，η=6868.87。

2拟合优度检验

分布的检验是通过实验或者生产过程中产生统计数据，利用检验计算方法推断产品的寿命是否服从初步分析所选定的分布模型，判断的依据就是拟合优度检验^[7]。

2.1皮尔逊卡方检验

在可靠性数据分析中常用的拟合优度检验方法主要有两种，一种是K-S检验，另一种是皮尔逊卡方拟合优度检验。本文采用卡方拟合优度检验对已经建立的威布尔模型进行拟合优度检验。卡方检验的基本思想是比较样本某一区间的实际频数与理论频数。

假设现有数据服从某一分布，那么得到理论上的总体分布函数，然后将总体数据取值范围分为若干区间，根据分布函数即可求得落在某一区间内的理论概率P_i。假设样本量为n。那么理论上落入该区间的频数为np_i。而从实际得到的样本中可得知落入这一区间的实际样本数量为n_i。如果该样本服从这一分布，那么（ n_i-np_i）²应为极小值。皮尔逊证明^[8]了在H₀成立时，当n→∞统计量的极限分布是自由度为k-1的χ²分布。而在大部分實际情况中，要检验的母体分布F₀（x;θ）中θ=（θ₁，θ₂，L，θ_m）的是m维未知参数，即p_i是参数θ的函数。因此在这种情况下，为计算统计量χ²中的P_i，用θ的极大似然估计代替θ。

这时的检验统计量为

当n→∞时，Fisher^[9]提出在计算过程中每估计一个参数则统计量就丢失一自由度的原则，证明该统计量的极限分布是自由度为k-m-1的χ²分布。

因此，在给定显著性水平α时，可由χ²分布分位点求出临界值c=χ²_1-α（k-m-1）。当χ²的观测值大于临界值c=χ²_1-α（k-m-1）时，拒绝原假设。

卡方检验适用范围较广，母体可以是离散型随机变量也可以是连续型随机变量，母体参数可以已知也可以未知，可适用于完全样本也可适用于截尾样本和分组数据^[10]。

2.2利用B组数据对威布尔分布模型进行卡方拟合优度检验

通过利用MINITAB软件中的参数分布分析，按之前得到的形状参数和尺寸设置威布尔分布的参数，并将B组50组数据导入MINITAB中，对得到的威布尔分布模型进行卡方拟合优度及检验。设置其显著性水平为95%。

计算结果见表3。

通过查询卡方临界值分布表，在自由度为2、显著性水平为95%的情况下，临界卡方值为：

χ²_0.05（2）= 5.99147> 0.145820=χ²

并且P=0.930> 0.05

因此，经由卡方拟合优度及检验后发现没有足够的理由否定原假设，即APU寿命分布服从威布尔分布W（3.62005，6868.87）。

经过卡方拟合优度检验后，发现APU寿命服从参数为β=3.6205、η=6868.87的威布尔分布，由此得到APU寿命分布的累积失效分布函数：

同时，可利用MINITAB软件得到置信度为95%的APU寿命的威布尔分布概率图，如图1所示。图1中，横轴为APU寿命，纵轴为失效百分比，经过纵轴任意一点做水平线得到与曲线的两个交点即为置信度为95%时该失效率的置信上下限。

通过MINITAB中的“可靠性/生存”选项得到该威布尔模型的概率密度函数图、生存函数图、故障函数图和威布尔分布特征参数。

当要求APU可靠度为R=0.95，根据式（9）可以求得可靠度为0.95时的寿命，即

计算可得，在可靠度为R= 0.95时，APU寿命为3023.8h。这意味着APU工作时间在3023.8小时内，可靠性是比较高的，只需要维护人员进行简单的检查。利用MINITAB软件还可以求得该威布尔分布的各项分布特征，如均值、标准差、中位数等等一系列参数。

3结论

本文使用MINITAB软件对实际的APU使用寿命数据进行分析，确定相关系数最大的威布尔分布作为寿命分析模型，并利用卡方拟合优度进行检验。研究结果可以对APU的寿命预测以及检测周期的确定提供有益的参考，同时对APU的维修以及相关航材储备提供参考，提升航空维修的效率并降低维修成本。

参考文献

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