基于前景理论的一种犹豫模糊多属性群决策方法

孙朋, 张骏, 曾红斌

(西北工业大学 自动化学院,陕西 西安 710072)

随着人们生产生活中决策问题的日益复杂化，传统的多属性决策方法在一些亟待解决的决策难题面前常常束手无力。为了模拟人在决策过程中的犹豫不决状态，诸如区间模糊集、直觉模糊集及区间直觉模糊集等概念陆续被提出，并被广泛用于实际决策中。Torra拓宽了模糊集的概念，提出了犹豫模糊集，并被很多学者引入到多属性决策问题中描述决策者的优柔寡断程度[1]。Xu等提出了一种解决权重信息不充分的犹豫模糊TOPSIS多属性决策方法[2]。朱丽等针对属性值为犹豫模糊数和区间犹豫模糊数，提出了一种犹豫模糊风险型决策方法[3]。刘云志等针对具有单一或组合指标期望的多属性决策，将原始决策问题转化为广义优序模糊约束满意问题，通过计算总体满意度对方案进行排序[4]。刘小弟等通过构建正负理想点，建立了一种针对犹豫模糊信息的向量投影测度方法，结合Jaynes最大熵原理，确定方案的排序结果[5]。Sun等通过结合模糊集理论和模糊层次分析法优点，较好地解决了判断矩阵中的不确定性[6]。Amali和Ramachandran基于主成分分析建立了决策矩阵，解决了多属性群决策方法的复杂度问题[7]。Lin提出了一种基于决策者风险偏好的多属性决策方法，并建立了计算决策者风险偏好的方法[8]。

前景理论自1979年被诺贝尔经济学奖获得者Kahneman等提出以来，由于很好地解释了人们在面临决策行为时的确定性效应、孤立效应和反射效应，在决策领域获得了广泛的应用。李鹏等通过分析旧记分函数的缺陷，建立了一种基于集对论的新记分函数，使用新记分函数将直觉模糊决策矩阵转化为记分矩阵，进而得到基于零参考点的前景决策矩阵，解决了随机直觉模糊决策问题[9]。王坚强等为了解决区间灰数随机多准则决策问题，将风险决策矩阵转换为基于参考点为备选方案的前景决策矩阵，并利用实际算例验证了方法的有效性[10]。张娟等针对决策信息为区间数的多指标决策问题，引入前景理论将决策矩阵转换为基于参考点为正负靶心的前景决策矩阵，构造决策树确定方案的排序[11]。高建伟等通过新构造的记分函数，将区间模糊数转换为实数，并构建了基于零参考点的前景决策矩阵，计算方案的综合前景值并依此排序[12]。

现有多属性群决策方法主要比较方案集内部的贴近程度，不能够反映与理想解的相对接近程度。通过引入前景理论可以计算每个方案相对于理想方案的前景值，准确表示出不同方案基于参考点为理想解的收益和损失情况。因此，本文研究建立了一种基于前景理论的犹豫模糊多属性群决策方法。利用不同权重的专家对各个方案的所有属性值给出评估，并用犹豫模糊集记录。基于前景理论，使用正负理想解作为参照点，将犹豫模糊决策矩阵转化为收益及损失决策矩阵，考虑到决策者的风险偏好和风险厌恶程度，计算每个方案的收益损失比，并依此进行排序。最后验证了此方法的有效性。

1 问题描述和模型构建

1.1 问题描述

根据专家权重的加权处理方法,可得到方案Ak在属性bn上的属性值为hkn[13]。设决策者对某属性偏好为φn(hkn),且φn(hkn)∈[0,1],则经典的多属性固权决策模型可以表示为:

(1)

式中，Uk表示决策者对第k个方案的综合偏好。若对于所有的属性值(1)式都成立,则称属性b1,b2,…,bN之间偏好绝对独立或者属性偏好独立。

1.2 改进型熵权法

信息熵描述了一个系统的无序程度,某个指标的信息熵越小,表征其变异程度越大,所蕴含的信息量越多,则应该赋予这个指标更大的权重。在多属性决策中,对犹豫模糊决策矩阵进行标准化处理后,基于犹豫模糊熵的权重,指标hkn的犹豫模糊熵Ekn定义为[14]:

(2)

式中,hσ(i)表示犹豫模糊元hkn中第i大的元素,lkn是犹豫模糊元hkn的元素个数,不同属性的权重定义为:

(3)

(4)

a∈(-∞,+∞),∀k=1,2,…,M

(5)

在这里,φi(hki)(i=1,2,…,N;k=1,2,…,M)表示决策者的单属性偏好函数。(4)式中关于a的取值并没有明确的赋值方法,比较笼统的取值原则:“决策者对状态值大的因素考虑越多,a的取值应该趋于正无穷大;决策者对状态值小的因素考虑越多,a的取值应该趋于负无穷大”[16]。

为了获得主成分对主观修正系数影响,对(4)式泰勒展开,可得

(6)

使用主观修正系数λj(h),对(3)式中权重进行修正,可得

(7)

将(6)式代入(7)式,可得

i=1,2,…,N;∀k=1,2,…,M

(8)

2 决策步骤

由于决策者固有的风险偏好以及实际问题中决策问题的复杂化、模糊化程度加剧,决策者往往不能完全凭借自己的能力做出合理判断,参考专家的意见就显得尤为重要。经典TOPSIS多属性决策方法要求属性值为已知的精确值,且决策者是完全理性的,这样的假设难以胜任实际的复杂问题。因此,本文建立了一种基于前景理论的犹豫模糊多属性决策方法,通过专家集对方案的属性值进行匿名评估,在获得所有的专家评估结果后,根据专家权重,加权处理得到每个方案在每个属性上的属性值;再通过熵权法确定属性权重,加权处理得到犹豫模糊决策矩阵,计算每个方案与正负理想解[17]的距离及综合前景值,确定所有方案的排序结果。具体步骤如下:

(9)

(10)

计算每个方案与正负理想解的犹豫模糊Hamming距离测度或者犹豫模糊欧式距离测度,其中正理想解为Ω+,表示属性值的最大值。负理想解为Ω-,表示属性值的最小值。

l为每个犹豫模糊数的元素个数,扩充后每个犹豫模糊数长度是相等的。则方案Ak相对于正负理想解的犹豫模糊欧式距离可以表示为[18]:

(13)式和(14)式中Ω±(n)表示理想解Ω±中第n个元素的属性值,d(Qkn,Ω±(n))表示犹豫模糊数Qkn与Ω±(n)的犹豫模糊欧式距离。

3) 计算方案Ak在属性bn上的前景值,相对于正理想解来说,方案Ak是损失的;相对于负理想解来说,方案Ak是产生收益的。因此,根据Tversky给出的价值函数ν(Δx)[19],前景值分别为

式中，α,β和θ是已知参数,α是风险态度系数,表示决策者对收益的关心程度;β是损失厌恶系数,表示决策者对损失的关心程度;θ表示决策者对收益和损失的敏感程度不同。通常参数的取值范围为α>0,β<1,θ>1。

3 算例分析

表1 专家评估及归一化犹豫模糊处理后的结果

方案A1在属性b1上的属性值专家评估结果为y1:{0.2,0.4},y2:{0.6}。考虑专家权重{0.7,0.3},经加权处理后的属性值为{0.32,0.46},其中0.32=0.2×0.7+0.6×0.3[14],经过标准化和归一化后的属性值为{0.54,0.68,0.68},其他属性值数据类似,进而获得犹豫模糊熵,如表2所示。

表2 犹豫模糊熵

使用熵权法确定的未修正属性权重为:w=(0.2541,0.1512,0.4884,0.1063)。

决策者给定方案的单属性偏好为φ(hkn)=(0.3,0.3,0.2,0.2),∀k,n=1,2,3,4。当a=10时,修正因子为λ(h)=(1.648 7,1.648 7,0.606 5,0.606 5)。因此,修正权重为w*=(0.407 1,0.242 3,0.287 9,0.062 7),则可得加权犹豫模糊决策矩阵Q=JW,如表3所示。

表3 加权犹豫模糊决策处理的结果

由此可以得到正负理想解:

相对于正理想解,方案是损失的;相对于负理想解,方案是盈利的。当α=β=0.88,θ=2.25时,根据(15)式和(16)式,可得前景决策矩阵,如表4所示。

表4 前景决策值

进而,可得每个方案的收益损失比,如表5所示。

表5 收益损失比

由收益比可知,收益比越大,方案越优,排序结果为A4>A5>A1>A2>A3,所以选择购买第4种生产线。

4 结 论

针对多属性决策过程对方案的犹豫和不确定性,提出了一种基于前景理论的多属性群决策方法。该方法引入专家集对方案的属性值进行匿名评估,并充分考虑决策者的属性偏好,既反映了决策者的主观意愿,又避免了决策者对方案评估时不稳定心理状态的影响。使用构造的熵权计算确定属性权重并进行更新,通过引入前景理论,将方案与理想解的犹豫模糊欧式距离转化为方案的前景值,充分考虑人们在面临风险和收益时的风险偏好、风险厌恶的敏感程度。用收益损失比代替贴合度,并依此对方案进行排序。最后验证了该方法的科学性、可行性及有效性。