浅谈含参数一元二次不等式的解法

陈新元

【摘要】一元二次不等式及其解法是高中数学中的重点，也是学习的一个难点。结合具体的实例，阐述含参数，不讨论；讨论两根大小；讨论判别式△与0的关系；讨论二次项前的系数等对含参数一元二次不等式的解法理解。又讨论了高考中含参数一元二次不等式常常与导数联系在一起考查——含参函数的单调性的讨论等问题。

【关键词】一元二次不等式 含参数 解法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0131-01

一、仔细审题，分清类型

1.含参数，不讨论

例1：解关于x的不等式：x2-（2m+1）x+m2+m<0

解析：方程x2-（2m+1）x+m2+m=0的解为x1=m，x2=m+1，且知m

2.讨论两根大小

例2：解关于x的不等式：x2+（1-a）x-a<0

解析：方程x2+（1-a）x-a=0的解为x1=-1，x2=a，函数y=x2+（1-a）x-a的图像开口向上，所以当a<-1时，原不等式的解集为（a，-1）；当a=-1时，原不等式的解集为？覫；当a>-1时，原不等式的解集为（-1，a）。

方法归纳：本例中确定了方程有两个根，但不能确定两根的大小，要讨论两根的大小，从x1>x2，x1=x2，x1

3.讨论判别式△与0的关系

例3：设00}，B={x/2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B，求集合D（用区间表示）。

解析：令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a，

△=9（a+1）2-48a=9a2-30a+9=9（a-3）（a- ）。

（1）当

（2）当a= 时，g（x）=2x2-4x+2>0， ∴B={x/x≠1} ∴D=（0，1）∪（1，+∞）.

（3）当00，g（x）=0的两个根为

x1= ， x2=

∵（3a+3）2-（9a2-30a+9）=48a>0

∴x1>x2>0，∴B={x/xx2}

∴D=（0， ）∪（ ，+∞）

方法归纳：本例中在解方程时，要先判断方程解的个数，讨论判别式△与0的关系，从△>0， △=0，△<0三个方面进行讨论。在△>0时，方程有两个根，还要确定两根的大小，如果不能确定，要讨论两根的大小关系。最后再通过观察函数的图像，从而确定原不等式的解集。

二、学会运用，联系高考

学习的目的不是死记知识，而是为了更好的运用，高考中含参数一元二次不等式常常与导数联系在一起考查——含参函数的单调性的讨论。下面通过具体的实例来体会一下。

例5：已知函数f（x）=（2x2-3x+a）·ex（a∈R）

（1）求函数f（x）的单调性；

（2）当a=0时，方程f（x）=t有且仅有一个实根，求实数t的取值范围。

解析：（1）函数的定义域为R

f '（x）=（2x2-3x+a）'ex+（2x2-3x+a）（ex）'=（4x-3）ex+（2x2

-3x+a）ex=[2x2+x+（a-3）]ex

当△≤0，即a≥ 时， 2x2+x+（a-3）≥0恒成立，又ex>0，所以f '（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增，没有递减区间。

当△>0，即a< 时，方程2x2+x+（a-3）=0有两个不同的根x1= ，x2= ，且x10，又ex>0，所以f '（x）>0，故函数f（x）在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增；当x∈（x1，x2）时，2x2+x+（a-3）<0，又ex>0，所以f '（x）<0，故函数f（x）在区间（x1，x2）上单调递减。

综上：当a≥ 时，函数f（x）在R上单调递增，没有递减区间；当a< 时，函数f（x）在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上單调递增，在区间（x1，x2）上单调递减。

（3）当a=0时，f（x）=（2x2-3x）ex

方程f（x）=t有且仅有一个实根，即函数y=f（x）的图像与直线y=t有且仅有一个交点。

而f '（x）=（2x2+x-3）ex，令f '（x）<0，得2x2+x-3<0，解得-

所以函数的极大值为f（- ）=9e ，极小值为f（1）=-e。

因为x<0时，f（x）>0，所以当t>9e 或t=-e时，函数y=f（x）的图像与直线y=t有且仅有一个交点。

所以实数的取值范围是t/t=-e或t>9e

技巧点拨：该题的第（1）问属于典型的高考命题热点问题——含参函数的单调性讨论，需要根据导函数解析式中变号的部分，也就是二次代数式的符号进行分类讨论，可以结合二次函数图像的特征，讨论判别式△与0的关系，根据导函数符号的变化讨论单调性。

参考文献：

[1]王晓艳.解含参数的一元二次不等式的分类方法[J].中学教学参考，2010（26）.

[2]李妍华，杨平.含参数的一元二次不等式的轻松破解[J].上海中学数学，2012（10）.