信道预测和天线选择的空时码DE-QPSK误码性能分析*

汪玲波，李光球，钱 辉

（杭州电子科技大学，浙江 杭州 310018）

0 引 言

采用组合发射天线选择（Transmit Antenna Selection，TAS）/正交空时分组码（Orthogonal Space-time Block Code，OSTBC）的多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）无线通信系统能够获得满分集增益，可有效抑制衰落信道引起的误码性能恶化，且具有译码算法简单、实现复杂度低的优点。其中，理想信道状态信息（Channel State Information，CSI）是获得上述优点的前提[1-3]。文献[1]推导了理想CSI下瑞利衰落信道上采用TAS/OSTBC编码的M进制正交幅度调制（M-ary Quadrature Amplitude Modulation，MQAM）的平均误符号率（Average Symbol Error Rate，ASER）解析表达式。文献[2-3]分别研究了理想CSI下独立和相关Nakagami衰落信道上采用M进制相移键 控（M-ary Phase Shift Keying，MPSK） 的ASER解析表达式。然而，在实际的无线通信系统中，信道反馈时延的存在会使无线通信系统使用过期的CSI进行发射天线选择从而导致系统误码性能的恶化[4]。文献[4]推导了瑞利衰落信道上采用反馈时延发射天线选择（TAS with Feedback Delay，TASD）/OSTBC编码的MQAM的ASER解析表达式。克服反馈时延导致的无线通信系统误码性能恶化问题的一种有效手段，是采用最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）维纳滤波信道预测器[5-7]。文献[5]研究了采用MMSE维纳滤波信道预测器的自适应调制系统的误码性能。文献[6-7]研究了采用MMSE维纳滤波信道预测器的信道预测发射天线选择（Predictive Transmit Antenna Selection，TASP）/最大比合并（Maximal Ratio Combining，MRC）方案，并分别推导其在瑞利块衰落信道上采用二进制相移键控和正交信号的ASER解析表达式，研究结果表明，信道预测可以改善无线通信系统的误码性能。相干检测差分编码四相相移键控（Differentially Encoded Quadri-phase Shift Keying，DEQPSK）可克服相位模糊度对其性能的影响，在无线通信系统中获得广泛应用[8-10]。下面将MMSE维纳滤波信道预测器和DE-QPSK调制应用于存在反馈时延和信道估计误差的TAS/OSTBC系统，并推导其ASER精确及近似表达式。

1 系统模型

考虑如图1所示独立同分布时间选择性平坦瑞利MIMO块衰落信道上发送端采用TASP/OSTBC编码、接收端采用MRC的DE-QPSK调制系统。假定：

（1）发射与接收天线数分别为Lt和Lr，从Lt根发射天线中选择能使接收端MRC合并器输出信噪比最大的N根（N≤Lt）发射天线发送数据，表示为(Lt,N;Lr)；发射天线按块（块长为Nc）发射信号，衰落信道在Nc个发送符号周期Ts内保持恒定，且其在前Lt个符号周期内发送信号功率为Ep、按正交设计[5]的导频信号，用于完成信道的估计和预测；后(Nc-Lt)个符号周期用来发送经OSTBC编码后的DE-QPSK信号，其元素为DE-QPSK符号及其共轭的线性组合，正交空时分组码的编码速率为Rs。

（2）采用与文献[6]相同的Jakes信道模型，信道系数按块进行变化，设第u个数据块的实际信道矩阵为(u)∈ CLr×Lt，其元素(u)为第 i根发射天线到第j根接收天线之间的信道增益，均服从均值为0、方差为1的复高斯分布，记为CN(0,1)；信道增益之间的相关系数满足E(k-τ)]=J0(2πfdτ)，其中 (·)* 为复共轭，E[·]表示求期望，J0(·)是第一类零阶Bessel函数，fd为多普勒频移，反馈时延τ=DNcTs，正整数D为时延块数；每条接收链路上的加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）相互独立且均服从CN(0,N0)分布。

（3）采用与文献[6]相同的Lp级MMSE维纳滤波信道预测器完成对信道的估计和预测，第(u+D)个数据块的预测信道系数为(u+D)，服从CN(0,rHR-1r)分布，其中(·)H为共轭转置，R和r的元素分别为：

图1 TASP/OSTBC系统框

其中，ρp=rH[R]-1r为实际信道增益和预测信道增益之间的功率相关系数；H(u+D)∈CLr×N为AWGN矩阵，其元素相互独立且均服从CN(0,1)分布。

假定信道系数是块平稳的，故可将时间标度省略，接收信号可以表示为：

其中，X∈CN×T为发送信号矩阵，Y∈CLr×T为接收信号矩阵，V∈CLr×T为AWGN矩阵，其元素相互独立且均服从CN(0,1)分布。采用最大似然译码，接收端MRC合并器输出符号信噪比为其中—γ=P/N0为平均接收信噪比，c=1/RsN。

将式（3）代入式（4），并利用文献[4]得：

式（4）经化简，可得γ的MGF为：

式中，t(Lr,i1,…,iN)为表达式 (x1+x2+…xN)Lr-1，(x2+…+…中…x的 系 数；；集合B满足rN=r+N-1；cN=cΩj+iN+1。

将式（7）代入式（6），化简可得瑞利块衰落信道上采用TASP/OSTBC编码的无线通信系统接收端MRC合并器输出符号信噪比γ的MGF表达式：

其中，时， ρp=1，式（8）可退变为文献[1]中理想CSI下采用TAS/OSTBC编码的γ的MGF，见文献[1]中的式（9）。令：

利用拉普拉斯变换 tdewt↔ n ! /(s - w )d+1和部分分式展开定理，并将式（8）中的 j = 0 和 j ≥1分别进行拉普拉斯反变换后，可得接收端MRC合并器输出符号信噪比γ的PDF为：

其中：

2 精确误码性能

采用TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER表达式可由加性高斯信道下条件误符号率P(e|γ)对瞬时信噪比γ的PDF求统计平均后得到，即：

在AWGN信道上采用相干检测的DE-QPSK的条件误符号率表达式为[8]：

将式（16）代入式（15），可得瑞利块衰落信道上采用TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER解析表达式为：

其中：

利用文献[8]的式（15）可得：

3 近似误码性能

3.1 近似计算

TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER解析表达式式（17）中包含FA(n)函数，若要获得高精确度的ASER，的求和量会急剧增加。文献[12]给出了一种减少函数求和量的计算方法。经分析，文献[12]的方法也适用于式（17）的ASER计算，具体做法如下：

其中， zR和 wR分别是阶数为 Np的Laguerre多项式的零点和权值，且阶数为 Np的Laguerre多项式 LNp(z)可以表示为：

利用式（17）、式（20）和式（21）可以获得TASP/OSTBC编码DE-QPSK的ASER性能近似计算结果。

3.2 高斯Q函数的指数近似分析

为更简化DE-QPSK的ASER性能计算，可使用高斯Q函数的指数近似形式。

利用文献[13]中高斯Q函数的指数近似表达式：

其中w1=0.301 7，w2=0.438 9，w3=1.051 0。

将式（22）代入式（18）可得：

根据文献[14]，式（23）可化简为：

用 J(α,β,L,μ)替 代 式（17） 中 的 I(α,β,L,μ)， 即可得到瑞利块衰落信道上采用TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER近似表达式。

4 数值计算与仿真结果

利用上述推得的瑞利块衰落信道上采用TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER解析表达式，分析信道预测器长度、不同收发天线数以及反馈时延对ASER性能的影响，结果如图2～图4所示。不失一般性，采用与文献[6]相同的信道参数，可假定，预测长度 Lp= 5 ， Ep/ N0=30 dB。当用功率相关系数代替ρp时，即为文献[4]中的TASD/OSTBC方案，功率相关系数ρp、ρd越接近于1，即越接近于理想CSI下的TAS/OSTBC方案。

图2给出了不同时延值fdτ下DE-QPSK的ASER性能曲线，采用了G3编码。由图2可知：（1）在小时延（fdτ=0.02）下，采用TASP/OSTBC方案的ASER性能与理想 CSI（fdτ=0）下采用 TAS/OSTBC 方案的ASER性能相近，但采用TASD/OSTBC方案的平均接收信噪比γ—在10-6时恶化了约0.3 dB；（2）随着时延fdτ值的增大，相比理想CSI下的TAS/OSTBC方案，采用TASP/OSTBC和TASD/OSTBC方案的ASER性能都随之恶化，如当ASER为10-6且fdτ为0.2时，（4，3；2）TASP/OSTBC方案的γ—要比（4，3；2）TAS/OSTBC方案恶化约0.9 dB，（4，3；2）TASD/OSTBC方案的γ—要比（4，3；2）TAS/OSTBC方案恶化约1.8 dB，可见采用TASP/OSTBC方案后能有效改善ASER性能。

图3给出了归一化时延fdτ下DE-QPSK的ASER性能曲线。由图3可知：（1）在小信噪比和小时延下，采用TASP/OSTBC和TASD/OSTBC方案的ASER性能相近，这是因为ρd≈ρp≈1；（2）随着fdτ值的增大，采用TASP/OSTBC和TASD/OSTBC方案的ASER性能呈现出差异性，且前者优于后者，其分化点与γ—有关，γ—越大，TASP/OSTBC与TASD/OSTBC开始分化的fdτ值越小，如当γ—=10 dB时，在fdτ=0.02左右开始分化；当γ—=15 dB时，在fdτ=0.01左右开始分化。

图2 不同fdτ下DE-QPSK的ASER性能曲线

图3 DE-QPSK的ASER随归一化时延变化的性能曲线

图4 给出了采用TASP/OSTBC方案的DE-QPSK的误码性能近似计算结果。由图4可知：（1）误码性能随着发射天线总数Lt和接收天线数Lr的增加而改善；（2）两种近似方案的近似值、精确值和仿真值曲线几乎重合；（3）表1给出了（4，2；1）TASP/OSTBC编码DE-QPSK的FA(n)近似误码性能误差。由表1可知，Np=16即可获得比较精确的DE-QPSK误码性能，相较于文献[8]，DE-QPSK的误码性能计算复杂度获得显著下降；（4）采用高斯Q函数的近似方案后，由于最终计算表达式中未包含任何超几何函数以及积分，使得其计算更加简单，速度更快。

图4 不同近似方案的ASER性能曲线

表1 (4，2；1)TASP/OSTBC编码DE-QPSK的ASER近似误差

5 结 语

利用矩生成函数法推导了瑞利块衰落信道上采用TASP/OSTBC编码的DE-QPSK的ASER精确及近似解析表达式。理论和仿真结果表明：（1）增加发射天线数Lt或接收天线数Lr，误码性能随之改善；（2）随着时延值fdτ的增大，误码性能恶化，相比TASD/OSTBC方案，采用TASP/OSTBC方案后能有效改善误码性能，且在低时延下能够达到理想CSI时TAS/OSTBC方案的误码性能。精确理论计算、近似计算和仿真结果都相吻合，证明了理论分析的正确性和近似计算的准确性和有效性。利用上述推导的ASER解析表达式可为设计采用TASP/OSTBC编码的无线通信系统提供一种快速的理论分析工具。