一种新的无失效数据可靠性评估方法研究

2018-08-29李海洋谢里阳李铭李强钟海

兵工学报 2018年8期

李海洋，谢里阳，李铭，李强，钟海

(1.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳 110819;2.东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，辽宁沈阳 110819)

0 引言

在机械电子领域，电机类产品一般具有高可靠性与长寿命的特点，其可靠性问题研究受到国内外学者的广泛关注[1-2]。随着科技进步，产品可靠性越来越高，在高可靠性产品的可靠性定时截尾试验中经常出现大量的无失效数据[3]。近些年来，无失效数据产品可靠性评估方法研究已成为热点问题。

在无失效数据情况下，产品可靠性评估难点在于如何利用样本对产品进行失效概率估计。Martz等[4]最早提出在指数分布情况下无失效数据可靠性检验方法，按照后验分布风险准则选取失效概率先验分布的百分数，进而估计产品失效概率。赵海兵等[5]和Jiang等[6]扩展了失效概率的估计方法，提出了失效概率在威布尔分布与正态分布情况下的最小二乘估计和Bayes估计方法。此外，Miller等[7]建立“黑盒子模型”对无失效数据进行评估，计算出失效概率的先验分布，减少了主观因素对可靠性评估结果的影响。产品失效概率的估计是对无失效数据产品进行可靠性评估的前提，可靠性评估指标一般采用可靠度或平均故障间隔时间(MTBF)。贾祥等[8]采用不同方法对产品寿命分布相关参数进行估计,得到产品可靠度的点估计和区间估计，增加了产品可靠性评估结果表达形式的可信性。郭荣化等[9]基于小概率原理提出一种无失效数据情况下MTBF的简单计算方法，该方法对指数分布的极大似然估计法进行了有益补充。罗巍等[10]通过定时截尾数据的极大似然估计方法得到参数的伪似然估计值,利用修正的似然函数法对贮存阶段的无失效数据进行了统计处理,并得到系统贮存可靠度。为了使可靠性评估结果更接近实际，韩明[11]提出一种可靠性参数估计的“综合Bayes估计法”，将失效信息引入产品失效概率估计中，避免了可靠性评估结果中出现的“冒进”现象。无失效数据可靠性评估中引入失效信息后，在样本量较小时，可靠性评估结果会不那么“保守”，在样本量充足时，可靠性评估结果将不那么“冒进”。

目前，无失效数据可靠性的评估方法中,单侧置信限法可直接利用无失效试验数据估计产品的可靠度，计算过程简单，效率高，适用广泛。文献[12-13]将与产品可靠性有关的参数作为随机变量，利用不同置信区间的参数估计得到单侧置信限下的可靠度，所提方法简化了产品可靠度计算过程，提高了评估效率。夏新涛等[14]将Bootstrap方法引入无失效数据置信限评估法，获得产品可靠度的区间估计，在无失效数据情况下利用小样本也可以得到合理且有效的可靠性评估结果。陈家鼎等[15]提出一种最优置信限法，得到不同分布情况下可靠性参数的点估计，在对同一样本进行可靠性评估时，所提出的方法计算得到产品可靠度偏高。韩明[16]利用单侧置信限方法计算出寿命服从指数分布和威布尔分布情况下有关参数的置信限。在威布尔分布情况下，往往已知形状参数的真值才能得到产品可靠度单侧置信限。利用无失效数据置信限法对产品进行可靠性评估时，样本量大小对可靠性评估结果起到决定性作用，较大或者较小的样本量会使可靠性评估结果偏离工程实际。

针对上述问题，本文提出一种引入失效信息的修正单侧置信限评估法，在无失效数据的样本量充足情况下，不仅能够满足可靠性评估要求，还增加结果的可信性。将某型号液压驱动串联工业机器人中使用的步进电机无失效数据作为实例，通过假设步进电机产品的寿命分布类型，根据无失效数据分组方式不同，采取不同数据处理策略，将失效信息引入失效率估计中得到产品失效率的Bayes估计值，再利用失效率估计值并通过单侧置信限方法得到产品可靠度和MTBF. 实例分析表明，在试验数据充足情况下引入失效信息后的修正单侧置信限法，可有效避免可靠性评估结果“冒进”现象的发生。

1 产品寿命分布类型的确定

1.1 步进电机寿命分布类型

利用可靠性试验中的产品寿命数据，经过统计分析能够确定该产品在此工况下的寿命分布类型。如果产品寿命分布类型的确切信息未知，可通过同类产品寿命分布的特征参数进行等效类比，即假设此类产品寿命分布与同类其他产品相同。由于电机类产品寿命取决于转子上轴承的寿命，转动轴承寿命一般认为服从威布尔分布[17]，故有学者认为电机类产品寿命应该服从威布尔分布[18]。还有人认为电机属于电子类产品，寿命应服从对数正态或指数分布[19]等。其实，确切判断电机产品的寿命分布类型具有一定难度，一般认为电机类产品的寿命服从指数分布，理由如下：

1)随着科技进步，电机类产品可靠性越来越高，对电机类产品进行可靠性评估一般只能利用产品失效率曲线的一段，样本总体分布很难获得。在此区间假设电机产品寿命服从指数分布是合理的[20]；

2)经过许多学者的统计分析，电机类产品在长时间运行情况下，寿命分布类型显示出服从指数分布的特点[21]；

3)在电机类产品生产过程中各个零部件都会按照相关标准进行检测，将保证其整体具有较高的可靠性。在电机类产品本身失效率浴盆曲线的偶然失效阶段，此时失效率恒定；

4)指数分布描述电机寿命分布保守、有效，同时具有一定的实际运用价值[22]。

综上所述，假设步进电机寿命服从指数分布是合理的。

1.2 指数分布情形可靠度和MTBF计算

平均寿命是评估产品可靠性的重要指标之一。对于可修复产品来说，平均寿命为产品每次从开始使用到失效这段有效工作时间长度的平均值，记为MTBF[23]，典型寿命观测情况示意图如图1所示。

对产品进行可靠性评估一般需要获得其寿命分布类型，从而便于利用特定分布性质说明产品的一些潜在特性。用指数分布表示产品寿命分布时，可靠度分布函数为

(1)

式中：R(t)为可靠度；t为产品工作时间；λ为失效率。θ=1/λ为平均故障间隔时间，即产品的MTBF.

2 无失效数据置信限评估法

2.1 无失效数据来源及定时截尾试验分组

对无失效数据分组主要有两种形式，即单组定时和分组定时的数据。分组定时无失效数据又分为试验前分组与试验后分组，试验截尾时间又分为有规律和随机的，具体情况如图2所示。

单组定时截尾和分组定时截尾的无失效数据模型有以下3种形式：

1)单组定时截尾数据。当n个产品进行可靠性试验时，截尾时间为t，试验数据结果的观测向量表示为Z=(t,n).

2)试验前定时分组数据。当n个产品进行可靠性试验时，预先分成每组有ni个样品的m组，设定截尾时间t1，t2，…，tm为正数，其中t1

通过以上分析可知，单组定时截尾是分组定时截尾的一种特殊情况。

2.2 无失效数据的置信限评估法基本思想

无失效数据置信限法属于单侧置信限法，当用h(Z)表示k(θ)的1-α水平置信下限时，需要满足Pθ(k(θ)≥h(Z))≥1-α，其中，θ为未知参数，Pθ代表Z分布函数F(x,θ)的概率。设I为Z的全集，φ(u1,u2,…,u2n)是一个任意的Borel函数，对于z∈I，满足(2)式[24]：

(2)

(3)

式中：Z0为无失效数据情况下观测向量。

2.3 单组定时截尾无失效数据置信限法

2.3.1 经典无失效数据置信限法

当n个产品进行可靠性试验时，截尾时间为t0，寿命服从指数分布情况下的可靠度R在置信水平为1-α时经典下限[24]为

(4)

根据文献[25]可知截尾时间t0处可靠度Rt0的经典置信下限为Rlt0，即

(5)

此时，将(4)式代入P(Rlt0

(6)

通过(6)式计算得到在单组定时截尾无失效数据情况下MTBF置信下限θcs为

(7)

2.3.2 最优置信限法

根据文献[24]，在产品寿命服从指数分布情况下，对n个产品进行定时截尾试验，截尾时间为t0，其中Nt0=(n+1)t0. 产品可靠度R在置信水平为1-α时值为

(8)

平均寿命在置信水平1-α时置信下限为

(9)

此处，通过一个数值算例说明最优置信限法与经典方法之间的差别。假设定时截尾试验得到的单组无失效数据中的相关参数：t0=100 h，λ0=1.0×10-3，n=100. 在置信水平1-α从0.50到0.90时，两种置信限评估方法计算得到的产品MTBF变化趋势如图3所示。

算例中产品的θos曲线略高于θcs曲线，也就是说两种方法得到的曲线并不重合。在图3中，将置信水平1-α区间为0.70～0.75的一段放大后，可以看出，相同置信水平时最优置信限法得到的MTBF值比经典置信下限法略大。

2.4 分组定时截尾无失效数据置信限法

2.4.1 经典无失效数据单侧置信限法

在进行定时截尾试验时，样品分为m组，截尾时间为ti，每个时间对应样品个数为ni，产品无失效数模型用Z=(ni,ti)表达，i=1,2,…,m，1/λ为未知参数θ的具体表达形式，根据文献[26]可以得到可靠度R(t,1/λ)=exp (-λt)的θ水平经典置信下限为

(10)

(11)

2.4.2 Bayes可信下限法

置信水平为1-α时的Bayes可信上限λBm满足：

(12)

由(11)式可得1/λ的Bayes可信下限为

(13)

将(13)式代入(1)式可得到产品的可靠度在置信水平1-α时的Bayes置信下限为

(14)

3 修正无失效数据置信限法

3.1 确定有关参数

前m组定时截尾试验中无一产品失效，如果进行m+1次试验出现失效数据，将对现有置信限法所得到的可靠性评估结果起到修正作用。然而，第m+1组试验实际上没有进行，所以tm+1、nm+1、r(失效样品个数)是未知参数。

文献[6]给出了参数tm+1和nm+1的计算方法，即

(15)

(16)

3.2 修正单侧置信限评估法

在应用单侧置信限评估法时，无论对单组定时截尾还是分组定时截尾的数据，参数N对可靠性评估结果产生绝对影响。引入失效信息后产品失效率的估计值将对产品可靠性评估结果起到修正作用。在进行m+1次试验后失效样品个数r=0的几率最大，r=1的几率小，r=nm+1的可能性几乎不可能。引入失效信息后得到的产品失效率估计值为λ*，由各个截尾时间处样品失效率的加权平均得到[9]，即

(17)

(18)

(19)

r=0,1,2,…,nm+1.

经过m+1次试验，利用经典无失效数据置信限法计算的产品λ估计值表示为*. 当无失效数据累积定时截尾试验时间时，根据(15)式计算得到与等效替换，从而获得修正单侧置信限评估法来估计产品的失效率，表达式为

(20)

修正后的置信限评估法计算得到的产品MTBF估计值为

(21)

当置信水平为1-α时，修正后产品的可靠度R估计值为

Rk=exp (t*lnα).

(22)

在机电产品可靠性设计过程中，进行灵敏度分析可以使产品在再设计时修改设计参数做到有的放矢，具有一定的工程实用价值[28-30]。为了考虑参数N对失效率的影响程度，失效率对参数N的灵敏度为

(23)

当进行无失效数据的产品可靠性评估时，由于失效率对产品MTBF与可靠度的影响程度不同，关于无失效数据产品可靠性参数的灵敏度分析具有重要意义。基于不同单侧置信限法的产品可靠度与MTBF对失效率的灵敏度为

(24)

(25)

3.3 适用性分析

当前的无失效数据可靠性评估方法，几乎都是直接利用无失效数据得到相关参数估计值，再对产品进行可靠性评估。经过研究发现，在单侧置信限评估法中，产品MTBF数值随着样本量增大而增大，不仅仅与较长的截尾时间相关。所以，将超出最大截尾时间一段外推时间处可能发生失效的情况加以考虑，修正单侧置信限评估法是充分利用无失效数据信息的一种手段。通过3.2节的评估结果可知，结合产品失效概率的Bayes估计可以使得计算结果简单，不需要数值积分计算，便于工程人员的应用。在样本充足情况下利用修正单侧置信限评估法进行可靠性评估，能够提高结果准确性，有效防止“冒进”现象的发生。

4 实例验证

某型号液压驱动串联工业机器人中的步进电机通过可靠性定时截尾试验得到一组无失效数据(共分为18组，样本量为52个)，按时间顺序列于表1. 当步进电机的MTBF估计值大于10 000 h，认为这批产品合格，否则拒收。

表1 步进电机无失效数据与样本Tab.1 Zero-failure data and sample number of stepping motor

4.1 置信水平与样本量对可靠性评估的影响

经过2.1节分析可知，实例中的无失效数据属于随机分组定时截尾数据，利用经典无失效数据单侧置信限法(10)式进行计算，可以得到不同置信水平和随着任务时间变化时的产品可靠度，计算结果列于表2.

表2 不同置信水平的可靠度Tab.2 Reliabilities of products with different confidence levels

由表2中产品可靠度估计结果可以发现：产品在任务时间1 000～15 000 h之间时，可靠度随着置信水平升高而下降，置信水平越高、可靠度下降速度越快；在同一任务时间，产品可靠度随着置信水平提高而呈下降趋势；在任务时间短时，产品可靠度估计值下降得慢，反之下降得快；当置信水平1-α为0.95时，产品可靠度受其他参数变化的影响适中。

数据样本量对可靠性评估结果同样产生一定影响，利用单组定时截尾无失效数据置信限法对步进电机进行评估。将电机样本截尾时间的均值与单组定时截尾无失效数据置信限法中的t0替换，即每个样品运行时间用均值t0=|N/n|=3 427 h来表示，其中

(26)

将t0作为样品定时截尾试验结束的时间值，即全部样本在t0时刻停止试验。当置信水平1-α为0.95时，分析任务时间变化与产品可靠度之间的关系，结果如表3所示。

表3 不同样本量时的产品可靠度Tab.3 Reliabilities of products for different sample sizes

由表3可以看出，在样本量较小情况下，随着任务时间缩短，产品可靠度估计值增加较快，对可靠性评估造成不利影响，可见利用单侧置信限法评估无失效数据时样本数量不宜过少；在样本数量50个左右时产品可靠度估计值处于较合理水平。

产品MTBF估计值会随置信水平变化而变化，通过经典无失效数据置信限法中的(4)式计算步进电机的MTBF，结果如表4所示。当置信水平1-α为0.90时，对应的步进电机产品MTBF是置信水平1-α为0.99时的2倍。

表4 不同置信水平的产品MTBFTab.4 MTBFs of products with different confidence levels

为了分析样本量变化对步进电机产品MTBF影响，当置信水平1-α为0.95时，同样将t0作为单组定时截尾试验的无失效样本试验停止时间，根据(7)式计算得到的结果如表5所示。

表5 不同样本量时的产品MTBFTab.5 MTBFs of products for different sample sizes

4.2 修正单侧置信限评估法的评估结果

表6 失效率λ计算结果Tab.6 Calculated results of each failure rate λ 10-6

利用表6中的结果，通过(22)式计算得到引入失效信息后的产品可靠度。取3个置信水平，电机产品可靠度随着任务时间变化的结果如表7所示。由表7中产品可靠度的结果发现：当任务时间在1 000～15 000 h之间时，产品可靠度随着置信水平升高而下降；置信水平越高，产品可靠度估计值下降速度越快；当任务时间一定时，可靠度随着置信水平提高同样呈现下降趋势；当任务时间短时，产品可靠度估计值下降得慢，反之下降得快。

表7 不同置信水平的可靠度Tab.7 Reliabilities of products with different confidence levels

4.3 可靠性评估结果对比分析

单侧置信限法评估得到的产品可靠度估计值随着任务时间增加而减小，当置信水平1-α为0.95时，利用经典无失效数据单侧置信限法(方法1)、Bayes可信下限法(方法2)、修正单侧置信限法(方法3)计算任务时间从5 000～30 000 h时步进电机产品的可靠度，3种方法得到的产品可靠度曲线变化趋势如图4所示。

从图4可以看出，随着产品任务时间增加，3种方法得到的产品可靠度估计值逐渐减小，曲线斜率基本不变。利用方法3得到的可靠度估计值低于方法1和方法2，可见引入失效信息可使可靠度变得不那么“冒进”。

当置信水平1-α的区间为0.95～0.99时，利用方法1、方法2、方法3计算得到产品MTBF估计值变化曲线，如图5所示。

由图5可知，3种方法MTBF变化曲线的斜率变化基本一致。由于引入失效信息，利用方法3计算所得的产品MTBF变化曲线在方法1和方法2之下。由此可见，在获得相同的MTBF估计值时，修正单侧置信限法不需要采取与其他两种方法同样高的置信水平。引入失效信息后的评估方法具有明显优势，并且可以有效防止MTBF评估结果“冒进”现象的发生。

在置信水平1-α为0.99情况下，利用上述3种方法得到步进电机的MTBF值均大于10 000 h，但产品可靠度不足0.8，结果如表8所示。当任务时间满足1 000 h时，利用方法3计算得到产品的可靠度为0.973，完全满足产品对于可靠度的需求。