基于回合制的火力分配优化问题建模方法研究

2018-08-29薛辉刘铁林乔治军杨兆坤

兵工学报 2018年8期

薛辉，刘铁林，乔治军，杨兆坤

(1.陆军工程大学石家庄校区装备指挥与管理系，河北石家庄 050003；2.空军石家庄飞行学院，河北石家庄 050071； 3.空军研究院系统工程研究所，北京 100085)

0 引言

火力分配(WTA)是作战指挥决策中的关键问题，也是战损分析、目标毁伤效果评估及装备保障需求预测的重要研究内容。根据对抗目标威胁度的高低，分配最适宜的武器进行打击，是解决WTA问题的主要思路，但对目标威胁度的准确量化缺乏科学有效方法，尤其是战争系统的复杂多变性使得目标威胁度常常处于动态变化中。兵棋推演中的回合制是模拟战争的有效方法，回合制有两层意思：一是指军事对抗兵棋根据作战规模、推演粒度、战争样式等因素合理确定的对抗双方交替进行作战决策及指挥的时间间隔，由于战争存在巨大的不确定性，在一个回合时间内重新进行战场态势评估是合理且十分必要的；二是指战争作为复杂巨系统从来都不是一锤定音的，指挥员需要根据战场态势不断调整作战计划，该回合是指反复进行、反复决策、反复推演的意思。美军基于回合制的联合战区级模拟系统(JTLS)在多次实战中得到应用，并发挥出了良好的作战效能，可见兵棋中的回合制是模拟军事对抗的比较行之有效方法，因此本文在回合制背景下进行WTA建模。

WTA是指根据敌我双方交战态势、作战目的、作战决心及武器装备战术技术性能等因素，在作战资源的约束条件下，以最大毁伤敌方有生力量和武器装备、最小损失己方有生力量和武器装备、最短交战时间、最低经济损失等为目标函数，进行多目标的火力优化分配。传统WTA模型往往基于毁伤概率越大越好的分配原则[1-2]，在火力资源相对充足、目标数量相对较少情况下，必然造成火力资源的浪费。分配的弹药数量越多，弹药发挥作用的边际效应越低，为了避免火力资源的浪费，往往还结合实际情况给出各种火力资源约束[3]，如给定毁伤概率上下限、给定攻击时间间隔等。文献[4]将毁伤概率除以消耗的火力单元数量定义为毁伤概率平均值，该做法会限制模型分配较多的火力攻击目标，但过少的分配火力单元又不能确保作战效果。文献[5]分两个阶段实现编队对地攻击的效能最大化和费用最小化，该阶段的内涵不同于本文回合制所划分的阶段，是指满足效能最大化前提下选出费用最小化的Pareto解，是将多目标优化问题按照权重重新进行了分配，该方法无法避免目标打击效果不确定引起的火力单元分配过多或过少的弊端。动态WTA算法本质上仍然是将分配过程划分为多个阶段，每一阶段实质上还是静态分配。主要存在两个缺陷：一是动态分配造成了计算上的困难；二是多阶段划分的合理性又提出了新的问题。火力单元对目标打击效果存在很大的不确定性[6]，近年来动态WTA算法研究较多，如文献[7]不但考虑了打击效果的不确定性还考虑了目标出现空间和持续时间的不确定性，提出了多无人机时敏任务动态分配算法，解决了战场环境中多无人机对多个时敏目标的打击问题，具有很高的参考性。综上所述，本文运用当前作战兵棋中的回合制推演思想，将WTA模型合理地限制在一定时间范围内：一是可以有效避免分配的火力单元过多或过少问题；二是可以通过更新战场态势解决目标毁伤效果不确定问题；三是合理的回合时间在军事上可操作性、应用性较强(一个回合时间为15 min、1 h或2 h)。

本文以对敌方毁伤的最大战斗力指数为目标函数，替代当前WTA问题建模主要以最大毁伤概率及威胁度为目标函数，有效解决了目标威胁度评估难及人为干扰因素多的问题。需要特别指出的是，本文在目标函数中用到的最大战斗力是指最大战斗活力，文献[8]详细阐述了战斗力概念的内涵和外延，明确指出战斗活力是指在交战过程中，交战双方将自身具有的机械能、化学能以及人的体能和智能等能量，转化为实施进攻和防御的军事行动能力。通俗地说，战斗活力能否发挥出来，不仅取决于我方有没有完好的装备和充足的弹药，还取决于敌方有没有合适的、足够的目标，只有毁伤目标才能发挥出战斗活力。模型以回合制为计算周期，进行装备—弹药—目标分配(WATA)问题优化建模，确定装备战斗力、弹药消耗发数及装备运用方案等，有效解决了当前优化模型中一次计算后目标动态变化造成的火力资源浪费以及实时动态分配造成的计算困难等难题。

1 基于回合制的WTA建模流程框图

Lloyd等[9]已于1986年证明火力优化分配问题属于NP完全问题，因此WATA问题也属于NP完全问题，即解题所需的计算时间将随问题的规模呈指数型增长，当前解决该类问题主要是采取多目标优化理论，但有两个思路分支：一是虽然采用多目标优化，但求解过程中，根据需求将问题转化为单目标优化，如线性加权法、乘除法、主要目标法、效用函数法等；二是采用现代智能优化算法[10]解决多目标优化问题，如人工神经网络学习算法、混沌优化算法、遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索及其混合优化策略等，通过模拟某些自然现象或过程，为解决复杂问题提供新的思路和手段。

本文重点研究解决的问题如图1虚线框所示，是整个WTA流程中的一部分，根据兵棋推演中回合制的思想，整个分配过程按回合分为若干个阶段，通过数学建模将多目标优化问题转变为一个交战回合内可接受的约束条件，如将最少弹药消耗目标转变为一个回合内可接受的回合消耗约束条件，将射击时间最短转变为一个回合内能够达到的最大射弹发数等，在一个回合结束后根据双方战损情况以及双方装备保障效果重新评估双方的作战力量，在战斗结束条件判断为否时，继续运用本文模型进行火力分配，以对敌方毁伤的最大战斗力指数为目标函数，进行WATA问题优化建模，通过运用遗传算法求解模型，得到了装备- 弹药- 目标分配方案。

2 建模过程研究

当前常见的WTA目标函数如下，假设有x种火力单元，打击y个作战目标，弹药总数为θ，每种火力单元的弹药数量为θi，每个目标可以分配多枚导弹，建立的各火力单元针对目标的WTA数量矩阵为

(1)

式中：wαβ为分配给第β个目标的第α类火力单元的数量。

用ωj表示第j个目标的威胁度系数，用Pij表示第i种火力单元对第j个目标的毁伤概率，则对y个目标射击的总体作战效果可用最大毁伤概率表示为

(2)

文献[11-13]均在考虑目标威胁度情况下以对目标的最大毁伤概率为目标函数，有的多目标优化内容还包括最小化作战消耗、射击持续时间最短等。文献[14]中火力优化模型的思想是：保证在满足毁伤概率门限前提下优先分配威胁度大的目标，并且利用目标到火力单元的飞临时间信息，选择尽量少的火力单元尽早毁伤目标；在毁伤目标的同时兼顾了火力资源消耗情况和毁伤时机，达到了以期望毁伤概率、较少火力资源消耗、尽早毁伤目标的目的。

本文以敌方目标战斗力大小表示敌方目标的威胁度，即敌方目标战斗力值越大其威胁度应越高，分配给其打击武器也应越多，且本文已通过损失交换比的方法将敌方目标战斗力线性转换为己方装备战斗力。由于需要考虑时间因素，本文将以回合(1 h)为基本研究粒度，文献[15]进行了具有多次拦截时机的防空WTA建模，以来袭目标到火力单元的飞临时间为依据，有效解决了当前防空WTA大多采用一次性完全分配原则而造成火力资源浪费问题，该思路与本文提出的回合制有异曲同工之妙，事实上也属于是将动态分配问题转化为一定时间间隔内的分配问题。

2.1 弹药种类及数量对装备战斗力影响分析

不同于常见WTA问题建模，本文将弹药种类及数量规模加入WTA中的原因如下：

某些武器装备可使用多种弹药，并且可使用多种弹药的武器装备对不同目标只有使用相应的弹药种类才能发挥其作战效能，否则，其作战效能会大大下降。因此，在一个回合中只有在武器装备拥有与目标相匹配的弹药种类，才能按其规定的战斗力指数计算，否则就应当下降甚至无效。但一种武器在某一时刻只能发射一种弹药，只能对一个目标起作用，如果希望其能对多个目标进行打击时，需要持续一定的时长(即发射一定数量的弹药数量)，因此在一个回合内需要对发射弹药的种类进行分配以期达到最大限度毁伤目标的效果。

同样，弹药数量也会对装备战斗力产生影响：一是根据武器装备战术技术性能指标在一个回合内可以发射的弹药数量是有限的，应当根据目标情况优先选择使用战斗力指数高的弹药；二是根据战术基本原则及作战经验，作战分队的武器装备只有在弹药充足时，才能发挥最大效能，一旦弹药(含种类)数量消耗到一定程度，将进入“惜弹如金”的节约使用阶段，甚至是“弹尽粮绝”的地步。可以用装备携行量(分种类)为基本依据，如果某种弹药的消耗数量达到其携行量的2/3(以急补线1/3基数为基本依据)且未得到补充，那么该种弹药所对应的战斗力指数将随弹药进一步的消耗而下降。

2.2 弹药数量对装备战斗力影响建模

根据武器装备战术技术指标，可以求出毁伤目标所需的平均射弹发数。设某型武器装备对某型目标的单发命中概率为P，单发目标毁伤概率为ω，则所需的平均射弹发数为

(3)

按照函数的幂级展开式近似求法，分别按照泰勒展开式变换求解得到毁伤目标所需的弹药发数期望为

(4)

如果已知某种武器装备的一个回合内平均消耗发数为FHR，可以假设在存在该类打击目标时，且该类弹药剩余数量大于该值FHR时，就能够发挥该武器装备的正常战斗力指数，如果该类弹药剩余数量为0，则其对该类目标的战斗力值亦为0.

根据军事战术基本原则及作战经验总结，如果考虑指挥员的心理因素，认为指挥员不希望在回合结束时该类弹药剩余数为0，按我军弹药补给时的不补线(消耗量为携行量的1/3以内)、视补线(消耗量为携行量的1/3，但不足2/3)、急补线(消耗量大于携行量的2/3以上)的要求，将武器装备能够在一个回合内发挥正常作战效能的剩余弹药量定为平均消耗量的1.5倍，即若在回合开始时，如果武器装备针对某类目标的弹药剩余量大于1.5FHR，则认为在该回合内该种武器对该类目标的等效战斗力为原值，并随着剩余弹药数的减少而降低，其降低规律暂时简单地按线性或指数规律判定。若某型装备对某类目标的理论等效战斗力值为ZHR，其在回合开始时符合该类目标的剩余弹药发数为F(t)，且回合平均消耗发数为FHR，则该回合内该武器装备的实际等效战斗力为

(5)

在这种情况下，某种武器实际等效战斗力情况如下：

1) 弹药实有发数fm,k,n(t)≥1.5fRm,k(fRm,k是指红方第m种武器使用第k种弹药时在一个回合内的平均消耗发数)时：

2) 弹药实有发数fm,k,n(t)<1.5fRm,k时：

具体如(6)式所示：

(6)

实际上这也是该种装备对某种弹药的平均消耗发数。即在该回合内，所平均消耗的发数为

(7)

2.3 装备及弹药种类对装备战斗力影响建模

许多武器装备对多种目标都具有一定的作战效果，且使用不同弹药的作战效果差别巨大，同样同一类目标可能会存在多种装备都能够对其进行有效打击，因此，接下来的问题是解决装备及弹药数量种类WTA的问题。为可以进行优化，对WTA问题表述为：设红方拥有各类武器装备M种，第m种装备数量为cHm个，蓝方目标有N种，第n种目标数量分别为cLn个。用向量表示为

(8)

(9)

红方共有弹药K种，红方第m种装备可使用其中若干种，对M种装备可分别使用的弹药种类表示为

(10)

式中：dHUm,k为红方第m种武器是否可使用第k种弹药，不可使用取0值，可使用取1值。红方不同种类的装备使用不同种类弹药对蓝方不同种类目标的理论等效战斗力值将会不同，用(11)式表示红方第m种装备的理论战斗力值：

(11)

式中：i=1,2,…,K,j=1,2,…,N，下面公式中出现的i、j与此含义相同；zHRm,k,n表示红方的第m种装备在一个回合内使用第k种弹药打击蓝方第n种目标时的理论等效战斗力。

假设已知武器装备使用不同弹药对不同目标的命中概率和毁伤概率，根据(4)式得到不同武器的弹药对相应目标射击所需的平均有效射弹发数为

(12)

根据以往的实际战例统计，每一种武器装备并不能完全按最大射速发射，设每种武器在一个单位战斗时间内(回合)的平均消耗发数为已知，红方可表示为

(13)

式中：fHRm,k为红方第m种装备一个回合内平均消耗第k种弹药的数量。

设在战斗任意t时刻，红方第m种武器装备拥有第k种弹药的数量为fHtm,k，表示为

(14)

设红方第m种装备在某个回合内的WTA结果为

(15)

式中：oHm,k,n表示红方将分配第m种装备中使用第k种弹药打击蓝方第n种目标的所占红方第m种装备总数的比例。其分配结果可以由作战指挥员人为规定，也可以采用优化分配方法进行分配。

oHm,k,n满足：

(16)

对应的目标分配数量为

(17)

式中：bHm,k,n表示红方将WTA中分配给第m种装备中使用第k种弹药打击蓝方第n种目标所占蓝方该目标的比例。

bHm,k,n满足：

(18)

红方对应装备WTA的弹药规划结果为

(19)

式中：fHPm,k,n为弹药分配中安排第m种装备使用第k种弹药打击第n种目标平均每个装备的分配弹药发数。

fHPm,k,n满足：

(20)

即分配的弹药不应超过实有数且不应超过一个回合内可以消耗的最大射弹发数。

(21)

令

(22)

cLk,n=cLn.

(23)

则(21)式可通过(24)式解得

(24)

根据2.2节中弹药数量对战斗力影响建模，令：F1为弹药实有数大于1.5倍的回合发数，以及分配的发数、有效需求发数均比回合发数大，因此能够全部发挥此回合战斗力；F2为弹药实有数大于1.5倍的回合发数，但有效需求发数小于回合发数且小于分配的发数，因此该回合战斗力只能发挥到需求为止；F3为弹药实有数大于1.5倍的回合发数，但分配的发数小于回合发数且小于有效需求发数，因此该回合战斗力只能发挥到分配为止；F4为弹药实有数小于1.5倍的回合发数，因此将进入“惜弹如金”时期，此时首先判断分配的发数与有效需求发数的大小，然后按照较小的发数在该回合内战斗力等比例下降发挥。弹药实际消耗情况如(25)式所示：

(25)

在此种分配下，红方第m种装备的实际等效战斗力将为

(26)

则cHm个第m种装备在本回合的总实际等效战斗力为

(27)

红方总战斗力表现为

(28)

本回合该装备所消耗的各种弹药数为

(29)

红方本回合各种弹药总消耗量为

(30)

如果已知各种弹药的价值或质量，则还可以计算该装备本回合将消耗的弹药的总价值或总质量。

该模型成功解决了一个回合时间内对敌方目标最大战斗力的WTA方案，即何种装备使用何种数量规模的何种弹药攻击对方何种目标。

3 战例仿真及结果分析

3.1 战例参数假设

为验证第2节模型计算的可行性及合理性，列出了模型的基本数据，如表1～表5所示。

红方拥有的装备种类和数量以及蓝方目标的种类和数量如表1所示。

表1 红方装备及蓝方目标编成

红方不同装备使用不同弹药对蓝方不同目标的理论等效战斗力值如表2所示。

表2 红方装备的理论等效战斗力值ZHRmTab.2 Equivalent combat effectiveness, ZHRm, of red equipment

根据武器装备使用不同弹药对不同目标的命中概率和毁伤概率，红方装备使用不同弹药击毁不同目标的平均有效射弹发数如表3所示。

表3 红方装备平均有效射弹发数Tab.3 Average effective ammunitions, of red equipment

红方装备在一个回合内的弹药平均消耗数量如表4所示。

红方装备在任意t时刻拥有的弹药数量如表5所示。

3.2 运用现代化智能算法求解WATA模型

遗传算法是以自然选择和遗传理论为基础，将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体随

表4 红方装备的弹药消耗标准FHR

表5 红方装备的实有弹药数FHtTab.5 Actual ammunition number, FHt, of red equipment

机信息交换机制相结合的高效全局寻优搜索算法。遗传算法摒弃了传统搜索方式，模拟自然界生物进化过程，采用人工进化的方式对目标空间进行随机优化搜索。它将问题域中的可能解看做是群体的一个个体或染色体，并将每一个个体编码成符号串形式，模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程，对群体反复进行基于遗传学的操作(遗传、交叉和变异)。根据预定的目标适应度函数对每个个体进行评价，按照适者生存、优胜劣汰的进化规则，不断得到更优的群体，同时以全局并行搜索方式来搜索优化群体中的最优个体，以求得满足要求的最优解。

由于遗传算法作为一种启发式智能算法，具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力，已广泛应用于组合优化领域，对于求解NP完全问题具有出色的表现，因此选用遗传算法编程验证本文建立模型的可行性和准确性。

运用遗传算法求解模型，在遗传算法工具箱中进行如下设置：

options=gaoptimset(options,‘PopulationSize’,216);

hybridopts=ptimoptions(‘fminunc’,‘Display’,‘iter’,‘Algorithm’,‘quasi-newton’);

options=gaoptimset(options,‘HybridFcn’,{@fminunc,hybridopts});

options=gaoptimset(options,‘PopInitRange’,[0;100]);

options=gaoptimset(options,‘StallGenLimit’, 200).

计算结果汇总后，得到了红方装备在该回合内的综合战斗力指数、弹药消耗发数、装备- 弹药- 目标分配方案，具体如表6所示。