装配偏差分析的区间算法

衡德正，羊 军，金爱君 ，金 隼

1 引言

装配偏差分析作为连接产品设计与制造的关键环节，通过将设计目标与制造能力集成在一个模型，定量化的评估零件制造偏差对产品功能的影响，在满足产品功能要求的前提下，力争使产品的制造成本最低。

装配偏差分析一般包括极值法和统计法。极值法基于零件满足100%互换，即在组成环中增环为极大（小）值、减环为极小（大）值时，封闭环取得极大（小）值。但实际尺寸链中，各个组成环一般为不确定量，按照极值法计算必然带来分析结果趋于保守，带来制造难度提高，制造成本增加。统计偏差分析考虑了零件尺寸偏差的分布特性，更符合实际状况，受到广泛应用。但统计偏差分析一般基于概率论，将各个偏差变量视为随机变量，需要大量的不确定信息来判断尺寸的统计分布形式[1]。现代机械产品，组成零件多，工艺流程复杂，各种偏差经过复杂的传播、耦合，形成最终装配偏差，一般很难知道偏差变量的具体分布形式。此外，概率模型并不是描述偏差不确定性的唯一模型，而且研究表明，不确定性未必就是随机性，也可能是模糊性或未知而有界性。同时，概率模型对于参数的扰动特别敏感，以至于很小的误差也会带来计算结果的较大误差，在缺乏足够样本信息时，一旦对这些概率分布的假定和工程参数的真正分布不符，则统计偏差分析结果的合理性与可靠性就失去意义。对此，提出装配偏差的区间算法。用区间的大小度量不确定量的变化程度。区间法只需要知道尺寸的上下限而不需要知道具体的分布形式，这就大大降低了对装配偏差分析的数据要求[2-3]，更适用于装配偏差分析。文献[4]用区间表示输入参数，并结合cost-tolerance模型进行公差优化；文献[5]提出用几何实体小自由度描述尺寸和形状公差，特征参数的不确定用区间表示，从而进行装配偏差分析；文献[6]为保证机器人末端执行器的精度，用区间表示机器人制造和装配过程的不确定因素，并进行关节处的公差优化；文献[7]提出了一种利用区间数求解平面尺寸链的新方法；文献[8]提出了一种考虑公差设计的区间优化算法，在保证目标性能的同时最大化设计变量的公差带，提高制造工艺性和降低制造成本。

上述基于区间法的参数计算与优化过程中，没有考虑区间扩张对最终参数的影响，对此提出了基于截断区间法的装配偏差分析模型，以有效的减小区间扩张对偏差分析结果的影响，提高计算结果的可靠性与实用性。

2 区间法的基本原理

在区间分析中，结构的不确定参数以一个区间的形式表示，同时结构响应也以区间形式给出。在装配偏差分析中，我们很容易知道尺寸参数的上下界，不必再对这些参数的分布情况做出假设，下面给出区间法的基本原理。

定义1.1设R为实数域，对于给定的两个实数x，x∈R，且x≤x ，则 XI=［x，x］，称为闭区间，简称区间。

定义1.2对于任意两个区间XI=［x，x］，YI=［y，y］，区间四则运算为：

3 区间上下界的确定

对于一个由不同零部件装配而成的机械产品而言，装配尺寸链中各个组成环的变化区间均为已知参数，要想知道封闭环的变化区间，最简单的方法就是根据公差设计函数，按照上面给出的区间运算的法则进行求解。一般而言，当组成环的数目和封闭环的变化区间都较小时，这种区间运算能够取得比较精确的结果，但当组成环的数目和封闭环的区间增大时，直接进行区间运算得到的结果往往会有较大误差，不符合实际工程要求。造成这类现象的原因，主要是实数的运算法则仅有一部分适用在区间分析，如交换律。而对于分配率仅表现为弱的包含关系：X（IYI±ZI）⊆XI×YI±XI×ZI，由上面的运算法则可知，当输入变量的数目以及运算次数增加时，区间运算会带来较大的区间扩张，甚至失去应用价值，为限制这种扩张，引入改进区间截断算法来确定封闭环尺寸的上下限[9]。假设两个组成环尺寸变量aI=［a，a］，bI=［b，b］，封闭环尺寸变量 cI=［c，c］，并设 a0=m（aI），b0=m（bI），c0=m（cI），当 c0很小时，截断法失效，否则我们可以计算出c0的相对偏差：

总的偏差为：Δ=Δ1+Δ2，假设最大偏差Δ为2t，并可通过以下改进的截断区间［d，d］来求取c的取值上下限：

4 装配偏差敏感性分析

装配偏差的敏感性分析指计算一个或多个组成环的变化所导致的封闭环的变化幅度，从而更好的了解各个组成环对实现预期封闭环目标的影响程度。

目前，一般采用直接求导法、差分法或者摄动法求解装配偏差的敏感性。然而在尺寸链的组成环与封闭环是隐式函数时，直接求导法很难应用。当组成环与封闭环是强非线性问题时，差分法或摄动法将严重影响敏感性分析的精度。将以区间法为基础，进行装配偏差的敏感性分析。假设一个结构具有n个组成环尺寸参数，这些组成环尺寸参数以名义值为中心构成一个区间向量，m 个封闭环尺寸构成另一个区间向量，那么这个装配过程构成一个组成环尺寸至封闭环尺寸的映射：X→Y。根据区间数学的相关性质，在封闭环尺寸中，分别对输入参数X（Iii=1，2，…，n）作区间扩张，可以得到：

式中：XIi—区间变量，其他参数均为实参数。

基于以上区间扩张等式，将区间向量XIi=［Xi0，Xi0］，其中 Xj0（j≠i）为组成环名义值，带入式（3）～式（1），可得：

式中：XIi0—区间变量，其他参数均为组成环名义值。并定义敏感

通过比较S的大小，即可找出封闭环尺寸对哪个组成环参数更为敏感。

区间法可以在组成环任意给定的局部或全局范围内，给出封闭环的变化量。虽然区间法给出的界限可能会比较粗糙，但是敏感度分析要求的是一种相对信息，界限的粗糙对相对信息间的比较不会带来影响。

5 案例分析

为了验证基于区间分析的装配偏差分析方法的有效性，以如图的单向离合器为例进行介绍[10]。该单向离合器包括一个内星轮、一个外圈和四个滚柱。这是一个常用的仅能在一个方向进行传动的设备，当离合器的外圈顺时针旋转时，内星轮和外环中间的滚柱，将会带动二者一起转动，反向时，滚珠仅仅滑动，因而内星轮没有转动，如图所示的两个接触点之间的压力角Φ1对于离合器的正确操作至关重要，如果Φ1过大，将会使离合器锁住，反之则无法锁住。这里内星轮尺寸为a，滚柱半径为c，外圈半径为e，尺寸 b 和压力角 Φ1则由 a、c、e决定，并要求公差 TΦ1=±0.6°，Tb=±0.5。各个组成环及封闭环的尺寸信息，如表1所示。

图1 单向离合器及矢量环Fig.1 One-Way Clutch and Vector Loop

表1 尺寸信息Tab.1 Dimension Information

5.1 装配偏差分析

为了分析单向离合器的装配偏差，按照如图所示的矢量环，建立矢量环方程：

从而可得：Φ1=a cos（a+c）（e-c））；b=sqrt（（e-c）^2-（a+c）^2）

将组成环尺寸信息表示为区间形式：

区间运算过程采用基于Matlab的Intlab工具箱，分别将上述区间变量带入可以得到：

在设计过程出于保守考虑，我们希望总的偏差Δ大于真实值，并设相应的最大偏差2t在公差要求极限时取得，带入式（5）求得：tΦ=0.0855，tb=0.1039

对于压力角 Φ1，由式（5）可得：Δ1=0.1515＞tΦ，Δ2=0.1315＞tΦ

由截断算法式（7）可得：ΦI

1=［6.928，7.0966］

同理可得：bI=［4.3108，5.3103］

将极值法、方根法应用于该案例，求得装配偏差区间，如表2所示。通过表2可以看出，区间法和方根法求得的压力角Φ1和b偏差均小于极值法，而且对于压力角Φ1，区间法求取的装配偏差小于方根法，对于b，区间法求取的装配偏差和方根法基本相等。考虑到区间法求取的装配偏差基于100%置信区间，而且不考虑参数的具体分布形式，而方根法给出±3σ的范围，基于99.73%的置信区间，从而我们可以认为区间法求取的装配偏差具有更高的可信性与准确度。

表2 不同方法偏差分析对比Tab.2 Comparing the Different Methods for Deviation Analysis

5.2 参数敏感性分析

根据式（12），分别求解压力角Φ1和b对几何参数a，c，e的敏感性系数，如图2、图3所示。

图2 压力角参数敏感性Fig.2 Sensitivity to Parameter of Pressure Angle

图3 尺寸b参数敏感性Fig.3 Sensitivity to Parameter of Dimension b

从图2、图3可以看出，压力角Φ1和b均对几何尺寸c最为敏感，因而为了更好的控制压力角和尺寸b，对内星轮几何尺寸c的控制极为重要。

6 结论

针对极值法计算趋于保守和统计法依赖尺寸分布形式的缺点，提出了基于区间法的装配偏差分析方法，将零件偏差与装配偏差均表示为区间形式，并求解零件偏差的敏感性。通过单向离合器的实例分析，我们可知：（1）基于区间法的装配偏差分析可以有效避免对尺寸信息分布形式以及概率密度函数的依赖，大大降低了装配偏差分析对于数据的要求。（2）在区间分析中引入截断算法，可以有效的避免区间扩张，克服区间算法的保守性，增强偏差分析结果的可靠性与实用价值。（3）传统的敏感性分析以偏导数为基础，给出的结果是某个小邻域内的敏感性信息。基于区间法的敏感性分析尺寸范围可以任意给定，满足装配偏差敏感性分析的全局性要求。