二元函数连续性与偏导的研究

摘 要：现阶段我们就二元函数已经取得了一定的研究成果，特别是针对其连续性与偏导数之间具有什么样的联系有了一定的研究。不过，我国目前并没有把这些国际前沿成果编著在高等数学教材当中。学生在课本上看到的东西都是比较片面而浅显的，没有从根本上阐述清楚这些问题。仅仅凭借课本，学生想要对于这部分内容有一个比较全面而准确地把握是比较困难的。希望借助本篇文章能够对于学习二元函数相关知识的人有所帮助。

关键词：二元函数；连续性；偏导数

一、二元函数的连续性

设f为定义在点集上的二元函数，P0∈D（它或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要，就有则称f关于集合D在点P0连续，在不致误解的情况下，也称f在点P0连续。要是说f在所有D中的点都是连续的，那么我们就说f这个函数在D这个集合连续。这样的话我们能够看到，要是说P0为D一个孤立点的话，其实P0肯定為f关于D的连续点。要是P0是聚点的话，那么其实f关于D在P0连续也可以写成是。

二、二元函数的偏导数

由一元函数微分学知道：若在点x0可微，则函数增量为，这里面。而且我们能够看到要是f在是可微函数的话，这个点处函数全增量。我们想要找到的是函数和两个参数的联系。在里面，让，得到关于x的偏增量?xz。同时我们能够知道。

如果说的话，那么我们就有。右边其实就是的时候，的导数。令，由有，它是关于y的一元函数在处的导数。

这样的话其实我们就能够看到在这个点对x的偏导数，这样其实就是把其中一个未知量y当成是常数，取值就是y0处的值， 也就是说函数偏导数能够看成是当x=x0的时候的导数。那么要是说我们让给x等于x0的话，要是?y存在极限的话，其实也就是在的时候对y的偏导数。

设函数，。若，且在x0的某一邻域内有定义，则当极限存在时，称这个极限为函数f在点关于x的偏导数，记作或。

三、二元函数偏导数存在性

当（x，y）=（x0，y0）的时候的偏导是有其特定意义的，而不是单纯的一个数值。是上的点。过M0作平面y=y0，截得曲线，我们能够得到y=y0上曲线方程是，也就是说有。这其实就是，也就是说曲线在M0处的切线对x轴的斜率。同样的道理我们能够知道其实就是曲面被x=x0截得曲线在点M0处的切线对y轴的斜率。

我们在上文当中提到，如果自变量个数是一的时候，其实点a处是可导的就意味着a处是连续的。不过如果说自变量变成两个的话，其实这两个概念就不存在这样的关系了。之所以会出现这样的情况是由于存在偏导数其实也就是说点P沿特定方向靠近P0，有f（P）慢慢向f（P0 ）靠近。这个方向是和坐标轴平行的。但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0 ）。

四、二元函数连续性的进一步研究

我们在上文当中提到，如果自变量个数是一的时候，其实点a处是可导的就意味着a处是连续的。不过如果说自变量变成两个的话，其实这两个概念就不存在这样的关系了。那么函数是否存在偏导数和函数是否连续之间存在怎样的内在联系，我们需要对此进行更深入地研究。

定理1：设函数在点的某邻域内有定义，若作为y的一元函数在点y=y0连续，在内有界，则在点连续。

证明：任取，则： （1）

因为当x属于的时候是一个有界函数，所以说，可导，所以有属于区间（0，1），满足。将它代入（1）式，得（2）

由于 ，故有界，因而当时，有：。

我们还能够看到，当y=y0的时候是连续的，所以说的话，我们能够得到。所以，由（2）有：。

这说明在点连续。

推论1：设函数在点的某邻域内有定义，若作为y的一元函数在点y=y0连续，在点 连续，则在点连续。

下面我们给出证明。

因为在是一个连续函数，也就是说在某邻域当中是一个界函数，所以我们知道在是一个连续函数。

推论2：设函数在点的某邻域内有定义。 若在有界，存在，则 在点连续。

下面我们给出证明：因为，所以我们能够知道在y=y0的时候是一个连续的一元函数，所以我们能够知道在的时候是一个连续函数。

五、结束语

通过上文，我们能够知道，在一元函数中函数在一点可导则意味着函数在这一点连续。但是对于二元函数来说即使在某一点是连续的，但是在该点其偏导数不一定存在，同样的对于二元函数来说，在某一点偏导数存在但是也并不意味着函数在该点连续。

参考文献：

[1]李承杭，苗静静.关于二元函数二阶混合偏导数相等与否的进一步研究[J].中国培训，2016（22）：210.

[2]吴发汉，隋艳，翁伯.关于二元函数的偏导数存在性问题的探讨[J].教育界：高等教育研究，2017（15）：75-76.

作者简介：胡娇铃（1991—），女，汉族，广东汕头人，本科，助教，主要研究方向：数学与应用数学。