浅谈等价转化思想在含量词导数问题中的应用

顾晓梦

摘要：等价转化通过不断的转化，把不熟悉，不规范，复杂的问题转化为熟悉，具体甚至简单的问题.等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能，技巧.借助例题来探索等价转化思想在含量词导数问题中的简单应用.

关键词：等价转化；任意；存在；恒成立问题

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉，不规范，复杂的问题转化为熟悉，规范甚至模式法，简单的问题[1].一般来说常见的转化有以下原则：由复杂到简单，又陌生到熟悉，由抽象到具体，由一般到特殊以及数形结合等等.历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能，技巧[2] 下面通过几个例子来探索等价转化思想在含量词导数中的简单应用.

一、含有量词的函数不等式的等价转化

例1.已知函数 ，设 ，当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围.

解析：对于任意的 ，总存在 ，使得 成立.即在 上的每一个 都大于或等于 ，且在 上只要有一个 满足即可，故即为 .故将此题转化为求 在 上的最小值 和 在 上的最小值 ，然后满足 ，即将抽象的大小关系转化为了具体的大小关系.

当 时， ， ，令 = =0解得 .

当 时， ， 在 上单调递减；

当 时， ， 在 上单调递增.

所以，当 时， 有最小值 = .

对于函数 ， ，

（1）当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 > ，不成立（舍）

（2）当 时，令 =0，解得 .

①若 即 时 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 .

②当 时 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，故 .综上（1）（2）， .

例2.已知函数 （ 且 ）， .

当 时，若对 ，总 ，使得 ，求实数 的取值范围；（其中 为自然对数的底数）

解析：对于任意的 ，总存在 ，使得 成立。即在 上的每一个 都小于 ，且在 上只要有一个 满足即可，故即为 .故将此题转化为求 在 上的最大值 和 在 上的最大值 ，然后满足 ，即将抽象的大小关系转化为了具体的大小关系.

例3.已知 为实数，函数 ，证明对任意的 ，不等式 恒成立.

解析：要证明对任意的 ，不等式 恒成立，即证明 ，即证明 ，即证明 在 上的最大、最小值满足 ，即将抽象的大小关系转化为了具体的大小关系.

例4.已知函数 ， .设 ≥1，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围.

解析：对于任意 ，总存在 ，使得 成立，即 上的每一个 ，都会存在一个 ， .记 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ， .所以此题就转化为了分别求 和 在 上的值域 、 ，然后满足 即可.

二、恒成立问题的转化

例5.设函数 对任意 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是___________

解析： 由题意知 ，在 上恒成立，可化为即 ，在 上恒成立，即 易知函数 在 上单调递增，当 时，函数 取得最小值 ，所以 ，即 ，解得 或 .

例6.设函数 ，若对所有的 都有 成立，求实数 的取值范围.

解析：（若分离参数，得 时 ， ，令 求不出根，所以不能分离参数）

令 ，对函数 求导数： ，令 解得 .

（1）当 时，对所有 ， ，所以 在[0，+∞）上是增函数，

又 ，所以对 ，都有 ，即当 时，对于所有 ，都有 ；

（2）当 时，对于 ， 所以 在 是减函数，又 所以对 ，都有 ，即当 时，不是对所有的 ，都有 成立.

综上， 的取值范围是：

例7.已知函数 其中 ，若 的最小值为1.求 的取值范围.

解析： ，

① 当 时，在区间 上， ， 在 单调递增.故 的最小值为 ；

② 当 时，由 解得 .由 ，解得

所以 在区间 上单调递减，在区间

上单调递增，所以 在 处取得最小值 .

综上可知，若 的最小值为1，则 的取值范围是 .

三、可转化为恒成立问题

例8.设函数 （ ），若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围.

解析： 的定义域为 ，

要使“ 在 为单调增函数”，转化为“在 上 恒成立”，即 恒成立，即 .又函数 在 上单调递增， 上单调递减， 在 上的最大值为1，所以当 时， 在 为单调增函数.

同理，要使“ 为单调减函数”，转化为“ 恒成立，再转化为“ 恒成立”，即 .而 在 无最小值，又 ，所以当 时， 在 為单调减函数.

综上所述，若 在 为单调函数，则 的取值范围为 或 .

问题是熟悉的心脏，数学是思维的体操，这就告诉我们解决的方法多种多样，多一种思维就多一种解决问题的方法.导数在高中数学中占有非常重要的地位，在解题中，无论哪种解题方法都或多或少的运用了转化的思想[3].一题多解就是培养学生从不同的角度去思考问题，从不同的方向进行转化.因此，在教学中，适当的进行变式训练，可以拓宽学生的转化思路，增强转化能力。

参考文献：

[1]凌健. 化归思想在数学解题中的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2008.

[2]唐晓颖. 化归原则在数学中的应用[J].教研探索，2012.

[3]胡彦洲. 浅谈数学解题策略与化归策略的决策[J].甘肃高等学报，2010，15（2）.