有趣的“木头堆放”问题

李蓉

人教版数学教材五年级上册中有这样一道习题，如图1所示。

在教学时，学生很快得出：（2+6）×5÷2=20（根）。我问：“为什么这么做，你是怎么想的？”学生自信地说：“根据木头堆放的形状来看是个梯形，用梯形的面积计算公式就可以。如果不信的话直接数，也可以得到是20根。”学生的回答有理有据，其他学生也认为这本来就不是一道难解决的习题，尤其是有些同学看了书中括号里的提示，更容易想到。

但是，有一位孩子提出质疑：“老师，用面积公式算出的是面积大小，为什么这里可以计算木头的根数呢？”“是啊，为什么？”我反问，并表扬这个孩子的细致思考。学生们都陷入沉思。不一会，有学生说可能只是巧合，建议再用别的数据试试。

于是，大家举了例子，如：底层7根，顶层2根；底层9根，顶层3根……都验证了这种方法是可以的，因为堆放情况从横截面看像梯形，所以用梯形面积公式求根数，学生们对此都没有异议。

接着，我出示另一种堆放情况（如图2），提问：“这堆木头的横截面近似三角形，那我们可以用三角形的面积公式计算根数吧？”大多数学生认为可以，很快得到6×6÷2=18（根）。没过一会儿，有几个同学不约而同地反对：“老师，实际根数是21根，这个答案不对！”

同學们都非常诧异，这相差的3根木头哪儿去了？我趁机说：“这真是个有趣的题目，实在是按横截面的形状来求的，怎么这次的求法就不对呢？”学生也被这种奇怪又有趣的现象激起了探究欲望。接着，我和孩子们对这一问题展开了一场刨根问底式的探究。

学生分析：求面积离不开面积单位，如果用求面积的方法算，就必须找到面积与木头数量（根数）的关系。平面图形的面积指的是含有单位面积的多少。把每根木头的横截面面积看作一个单位面积，那木头堆成的横截面有多少个这样的单位面积，木头就有多少根。这就是两者的相等关系！

为了让学生看得更清楚、理解得更透彻，我将木头化曲为直、化圆为方（如图3）：每个正方形的面积=每个圆的面积=一个单位面积。再用割补法将横截面转化为规则的梯形，这个梯形的上底为2个单位长度，下底为6个单位长度，高为5个单位长度。所以，梯形的面积=（2+6）×5÷2=20（单位面积），也就是堆放的根数。学生们顿时恍然大悟！

至于图2用化圆为方的方法，它的横截面就不是近似的三角形，而是近似的梯形（如图4）。此时，计算根数的方法应该是梯形的面积计算公式：（1+6）×6÷2=21（根）。所以，丢了的3根不是不能用面积公式算，而是用错了公式。

老师们在教学中经常这样变一变，让学生这样辨一辨，学生思考问题的方式和思维能力定能得到发展！

（作者单位：长沙市芙蓉区东郡小学）