四色问题

宋民振

摘要：四色问题是近代世界三大数学难题之一，指任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。利用横向交替循环加纵向交替循环证明，可以完美的对四色问题做出证明。同时避开了暴力举证的不足。

关键词：四色；横向循环；纵向循环

所有国家不得出现分割，交叉，飞地，现象。在不违背前题的条件下，边界可以任意弯曲，延伸，变形。

共识：所有国家的边界都是闭合图形。（可以把每一个国家的边界，想象成一个完全闭合的绳子，可以在平面上摆出任意封闭的几何图形。）

作图Q：取任意国家做图W1。相邻W1作图H1，H2，H3，H4，^，至无限多。作图W2，W2包围并相邻W1，H1，H2，H3，H4， ^ 。（因为证明的要涵盖所有可能图形，所以W2本身也可以分化为无限交替重复，这点在后续推导图中有说明。为了简单明确和容易理解，这里采用单一图形，纵向交替重复。）作图W3，与W2之间可以有无限多横向相邻国家，每一纵向相邻国家与前纵向相邻国家之间隔，有无限多横向相邻国家。以此类推 ^ ，无限重复。

本文符号说明：A，B，C，D，代表四种颜色 。W纵向国家 。W1，W2，W3，W4，^ ，纵向国家编号。H横向国家。H1，H2，H3，H4，^ ，横向国家编号。^ 省略号，∞ 无穷大，未标注符号与国际符号通用。

证明：W1=A，W2=B，W3=A，W4=B， ^ ∞， 形成纵向无限交替循环。H1=C，H2=D，H3=C，H4=D，^ ∞， 在颜色A与B 之间，C与D组成横向无限交替循环。两种交替循环可以扩展到无限大的平面，也可以缩小到无限小的一个点。所有图形组合都不会出现相邻颜色重合。所以四种颜色完全够用。

每种交替循环各自需要两种颜色，至少需要不相同的四种颜色，来组成横向与纵向两种交替循环，少于四种颜色必然会出现重色。

图Q是理想化的，严谨的，逻辑清晰的图形。所有的图形都可以看做图Q的局部部分。任意图形的周围排列次序最终会出现交替循环的排列顺序。

推导出图Q的过程说明：

作图（1）：先以任意一个国家作图W1，边界可以任意弯曲，延伸，着色为W1=A，相邻图W1作图H1=B，相邻W1，H1作图H2=D，图H3=C，图H4=D， 图H4之后可以有无限多国家。

证明：W1=A，H1=B，H2=D，H3=C，H4=D， H5=C， ^ ∞，后續可以有无限多国家，颜色可以在C或D之间，形成无限交替循环，不会出现相邻同色。

图（1）每个图形的外边（外边界尚未封闭）还都可以进行无限延伸，因此会出现图（2）a1。

即W2与H1，H2，H3，^ ∞，相邻，不重合，H6与剩余所有国家（有无限多个国家）相邻，并且W2每增加一个相邻国，H6则对应减少一个相邻国，（可以有无限多种组合）。

图（2）a1：W1=A。W2=B。H1=D， H2=C，H3=D，H4=C，H5=B，H6=D，H7=C， ^ ∞，W1与W2之间形成C，D，交替循环。W1与H6之间形成C，B，无限交替循环。

W2增加延伸至H5，得到图a2。对应改变后续国家颜色，H6=C，H5=D，H7=B， ^ ∞，W1与H6之间就可以得到D，B，无限交替循环。同理，后续类似无限组合都可以得到无限交替循环证明。

同理，中间增加W7与W1，H4，H5，^ ∞，相邻。得到图{2}b。A7增加一个国家，H6减少一个相邻国家。证明：W1与W2之间有C，D，交替循环，W1与H7之间形成的D，B，交替循环 W1与H6之间形成B，C，交替循环。^∞ ，同理后续可以增加无限多（类似H7）国家，都可以形成无限交替循环，证明可重复。

图（2）b中H1可以延伸边界至H3，形成图（2）c。图（2）c中H3≠C=D。H1在W1与W2之间形成了隔层。W1与W2之间有C，D，交替循环，W1与H1之间有B，D，交替循环，W1与H7之间有C，B，交替循环，W1与H6之间形成B，D，交替循环。W1可以继续延伸，与后续任意国家，形成隔层，类似重复组合可以生成无限种，适当调整国家对应颜色，都可以可以得到交替循环证明。

其他国家也可以延伸到H1之上得到图{2}d：

W1与W2之间形成C， D交替循环。W1与H1之间形成B， D交替循环。W1与H11之间形成C， B交替循环。W1与H7之间形成D， B交替循环。W1与H6之间形成B， C交替循环。（类似排列组合可以形成无数种）适当调整国家对应颜色，就会得到，无限交替重复排列形式。所有国家不会重色。

还可以向上增加∞种延伸组合，证明重复。因为：隔层内部形成独立闭合空间。所以：只需要再次重复证明，不需要增加颜色种类。（同时图2d中，W2已经分割形成交替循环与图QW2相呼应）

W2通过无限延伸最终形成一个闭合的环，形成图（3）。

图（3）中W2与所有（W2内侧，无限多）国家相邻，形成闭合，封死了（内侧）所有国家外边界。图W1与所有（图W2内侧，无限多）国家相邻，封死了所有国家内边界。所有边界都已经封死，不会出现第三个国家与所有国家相邻。图（1）图（2）a，b，c，d，可以归纳为图（3）内分部分，或变种。图（3）外边界是一个闭合图形，可以看作是内边界的开始。也可以缩小为地图上（球背面）一个点。

所以这个基本图形是平面地图上，所有可能产生的，地图排列组合的最基本组合单位。图（3）为终极图案。对图（3）做出证明等于对所有图形做出了证明。

图（3）证明：W1=A，W2=B，形成A， B，无限交替循环。H1=C，H2=D，H3=C，H4=D，^ ∞，形成成C， D，无限交替循环。两种循环交替重复，可以扩大到无限大的平面，也可以缩小到无限小。因此四种颜色完全够用，不会发生重色。同时要形成不重色的两种循环，至少需要四种颜色。图Q是图（3）的繁衍图形，证明过程通用。

关于图K证明四色问题：

在图K中，A是第一种颜色，相邻A 形成C， D交替循环。（C， D交替循环是偶数循环，在奇数时会出现重复，所以必须插入异数B）。再外层，形成A， B交替循环，插入异数D。再外层，形成C， D交替循环，插入异数B 。以此类推A， B交替循环与C， D交替循环，交替产生也可以放大到无限。（适当调整插入不同颜色的位置就能避免重合的发生）。同样满足四色不重复的条件。看起来好像也能证明四色问题。（现实中所应用的大部分图形符合此种排列形式）

图K 有一个致命的缺陷，就是隔层不相邻，（隔层相邻就会出现重复，需要重新排列着色顺序才能避免重复）。严谨的数学证明需要涵盖任何图形，包括涵盖隔层相邻的情况，因此图K 需要和图Q结合在一起，共同来证明四色问题。（也可以视图K为图Q的一个变种）

因为：平面地图上任何图形的排列顺序，都会归纳出图Q或图K的排列顺序结果。所以：图K和图Q在一起，共同证明四色问题成立。

总结：将平面地图上所有可能出现的排列组合形式，集中体现在一个国家周围。分析研究，就可以得到有秩序的逻辑证明了。并且任何一个国家周围，最终都会排列出有秩序的交替循环排列形式。

应用（1）：

四色问题的证明思路，可以应用到《人类意识学》中。人类对自身意识的认识，和对自身思考方式的认识一直处于模糊状态。图Q 就是一幅人类自身思考方式的模型图，能够清晰地解释人类的思考，意识，行为，等。对深入研究人类的思维意识，有一定的幫助。甚至有可能因此开发出人工智能算法程序。（图Q中横向循环代表逻辑思维——数学就是最好的逻辑语言。纵向循环代表情感思维——情感思维是人类的主导思维，人类对此还处于模糊状态，其运算法则，我将在《人类意识学》中做出详细说明。人类一切行为，情感，所作出的一切选择，人类社会所发生的一切都是这两种思维共同作用所产生的结果。）因为我本人对于知识和资金的匮乏，希望有人能够和我共同完成《人类意识学》的研究与整理工作。

应用（2）：

这个证明，还可以延伸出一门《循环论》——数学的一个延伸，创造出一些新的数学循环符号。——我们所处的宇宙，包括我们的社会都处于某种循环当中。一天可以看做是一个循环，一个月，一年，都可以看做是不同的循环，整个宇宙都处于各自独立的循环当中，包括经济有循环周期，翻看历史，国家的兴衰都有符合某种循环，甚至整个社会的发展（包括人类自身的思想）都处于某种差异性的循环发展当中。因此循环问题是一个大问题，这些都可以用严谨的数学方式表达出来。因为我的无知，我并不知道现今社会，是否已经存在这门数学分支。期望有人能够与我取得联系，和我一起完成循环论的研究。