对小学数学方程教学的理解

邓富刚

摘要：方程是人類科学家一代接着一代历经漫长而艰辛的探索研究而完成的伟大成就，是人类文化宝库中的瑰宝。方程是解决数学问题的基本的、常用的工具，又是最简洁、最有效的工具，同时方程思想也是学生必须掌握基本数学思想。含有未知数的等式就是方程。让学生从算术思维向代数思维过渡，准确理解方程的意义，逐步培养学生的方程思想。根据等式的性质解方程是解方程的基本方法，用“四则运算各部分间的关系”解方程有异曲同工之妙。分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程。既是教学的重点，也是难点，同时又是列方程解决实际问题的关键点。

关键词：方程；等式性质；解方程；解决问题

人教版义务教育教科书《数学》五年级上册第五单元“简易方程”。在用字母表示数的基础上，安排了四个内容：方程的意义、等式的性质、解方程、实际问题与方程。

一、方程的发展

教科书在“方程的意义”后面这样描述：“早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡尔儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。”

这样描述我总觉得似乎还差点什么。借助网络平台获知：古代的中国是世界上数学领先的国家，算术、代数、几何、三角各方而都十分发达。公元前一世纪已有多元方程组、一元二次方程、不定方程。比希腊丢番图方程要早三百多年。三次方程，唐代王孝通“缉古算经”已有记载，十一世纪的贾宪发明数字方程解法，十三世纪秦九韶在这方面也有伟大的贡献。数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，中国天元术简洁明了，四元术是天元术发展的必然产物。“周髀算经”、“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。元代朱世杰的级数计算，欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。方程的英语equation就是“等式”的意思。清朝初年中国的数学家把equation译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”就表示含有未知数的等式，刘徽在《九章算术》中说的“方程”其实“方程组”。

纵观人类对方程漫长而艰辛的探索研究历程。它是古埃及人、巴比伦人、阿拉伯人、中国人、印度人、西欧人的科学家们，一代接着一代完成的伟大成就，让我们对“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”有更深的感悟。

二、方程教学的意义

《课标》说：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。”而应用方程解决数学问题，可以免去逆向思维的不容易，直接正向思维地列出包含欲求解的量的等式，从而达到解决数学问题目的。所以方程是解决数学问题的基本的、常用的工具，又是最简洁、最有效的工具，同时方程思想也是学生必须掌握基本数学思想。

三、方程教学之我见

（一）方程的意义

1、在“方程的意义”的教学中。教科书给出的定义是“像100+x=250，3x=2.4……这样，含有未知数的等式就是方程。” 让学生记住这句话并不难，但让学生真正建立方程思想又确实不容易，这需要一个体验、理解、感悟的过程。然而这又正是我们的教学重点和必须达成的目标。在这里要注意突破两个关键点，一个是等式（表示等号两边相等关系的式子，即等量关系），另一个是未知数（要经过运算才能确定的数，简言之还没知道的数字）。

2、回顾我们的小学数学学习经历，其实，对方程的体验、理解、感悟已有四年的历程，只是没有明确提出“方程”这个词而已。从一年级开始我们就在做：数的分与合、7+□=16、15-□﹦5、□+8=12、□-6=4、5+8=6+7=□+□=□+□、6+□×5=40、男生人数+20=50、20+□=100、Δ=9 Δ-6=☆ □+☆=10……这些类型的题目，它们不就是方程吗？其中：7、16、15、、8、、20、50、100……像这些都知道的数，数学上给它们一个名称：已知数；□、Δ、☆、（）、男生人数等等不知道的数，数学上也给它们一个名称：未知数。

由此可见：一年级我们就开始学习方程了。同时，也说明未知数不等价于字母，并不是只有x、y、z这些字母是未知数，x、y、z这些字母也不一定就是未知数，它们也可以表示已知数。我们用字母表示数、表示未知数，目的是为了使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义，使思维过程简约化。

（二）等式的性质

经历了“方程意义”的建模学习后，来学习等式的性质就容易多了，在这里采用课件天平进行教学容易掌控、方便快捷，通过天平平衡原理的演示就可以那把等式基本性质直观地表现出来。

教科书64～65页的四组情境图设计得好，但需要我们把它蕴藏的等式含义充分挖掘出来。仔细观察演示过程：第一组图中的第一图，天平左边放了一把壶，右边放了两个杯子，天平保持平衡，这说明：一把壶的质量和两个杯子的质量相等，即一把壶的质量=两个杯子的质量；第一组图中的第二图，天平左边放了一把壶和一个杯子，右边放了三个杯子，也就是在第一图的基础上，天平的两边同时再放上一个杯子，天平仍然保持平衡，这说明：一把壶的质量加上一个杯子的质量和三个杯子的质量相等，即一把壶的质量+一个杯子的质量=三个杯子的质量。

回顾演示过程并比较：从“一把壶的质量=两个杯子的质量”到“一把壶的质量+一个杯子的质量=三个杯子的质量”的演示过程，就是在“一把壶的质量=两个杯子的质量”这个等式的两边同时加上“一个杯子的质量”，仍然是等式“一把壶的质量+一个杯子的质量=三个杯子的质量”。把这个过程用数学形式表达出来就是：若用x表示壶的质量、y表示杯子的质量，我们得到等式“x=2y”，在“x=2y”这个等式的两边同时加上“y”，即x+y=2y+y，得到的仍然是等式“x+y=3y”，也就是等式的两边同时加上同一个数，左右两边仍然相等。

依据第一组图的演示过程和思想方法，略加调整进行后面三组的学习。

从第二组图的演示中我们得出：等式的两边同时减去同一个数，左右两边仍然相等。即在“x+y=4y”这个等式的两边同时减去“y”，即x+y-y=4y-y，得到的仍然是等式“x=3y”。

从第三组图的演示中我们得出：等式的两边同时乘同一个数，左右两边仍然相等。即在“x=y”这个等式的两边同时乘“2”，即x×2=y×2，得到的仍然是等式“2x=2y”。

从第四组图的演示中我们得出：等式的两边同时除以同一个数，左右两边仍然相等。即在“2x=6y”这个等式的两边同时除以“2”，即2x÷2=6y÷2，得到的仍然是等式“x=3y”。

引导学生归纳小结出：等式的性质1和等式的性质2。在这里要提醒学生注意两点：一是等式的性质2中的“不为0”，因为任何数乘0都为0，而除以0则无意义；二是“左右兩边仍然相等”，用数学形式表达出来就是“左边=右边”，那么“右边=左边”也就顺理成章了，这其实就是等式的性质3--等式的对称性。

（三）解方程

解方程的教学关键是引导学生探索解方程的方法和步骤，让学生经历解方程的完整过程，体会解方程背后所蕴含的化归思想。化归都依据等式的性质进行，首先把方程化归成“x±b=c”或“ax=b”的形式，再化归成“x=a”的形式，使方程得解。在“ax±b=c”形式的方程中，联系“ax”在题中的实际含义，把“ax”看作一个整体，将方程“ax±b=c”看成“□±8=12”的形式。

例题讲解要精准简洁，提醒学生注意两点：书写格式规范和养成检验的好习惯，检验过程可以不写出来，但一定要检验。下面简要说一说我对例题讲解：

例1 x+3=9

解： x=9-3

x=6

讲解：x+3=9求x，根据等式的性质，等号两边同时减去3，结果仍是等式。即x+3-3=9-3，x=6。检验：左边=6+3=9右边，所以x=6是原方程的解。

例2 3x=18 （讲解：根据等式的性质，等号两边同时除以3。即3x÷3=18÷3，x=6。检验：左边=3×6=18右边，所以x=6是原方程的解。）

例3 20-x=9 （讲解：首先根据等式的性质，等号两边同时加上x，结果仍是等式。即20-x+x=9+x，20=9+x；再根据等式的对称性得：9+x=20；第三步根据等式的性质，等号两边同时减去9。即9+x-9=20-9，x=11。检验：左边=20-11=9=右边，所以x=11是原方程的解。其实，“a-x=b”和“a÷x=b”形式的方程我们还可以用“四则运算各部分间的关系”来解读，减数=被减数-差，也就是x=20-9。这给我们一个启示：两种方法有异曲同工之妙，我们的思维方式和解题方法要灵活，也应该灵活。）

例4 3x+4=40 （讲解：首先，把“3x” 看作一个整体，根据等式的性质，等号两边同时减去4，即3x+4-4=40-4，3x=36；再根据等式的性质，等号两边同时除以3。即3x÷3=36÷3，x=12。检验：左边=3×12+4=36+4=40=右边，所以x=12是原方程的解。）

例5 2（x-16）=8（讲解：方法一：首先，把“（x-16）” 看作一个整体，根据等式的性质，等号两边同时除以2，即2（x-16）÷2=8÷2，x-16=4；再根据等式的性质，等号两边同时加上16。即x-16+16=4+16，x=20。方法二：首先根据乘法分配律去括号，2x-32=8；再根据等式的性质，等号两边同时加上32。即2x-32+32=8+32，2x=40。第三步根据等式的性质，等号两边同时除以2。即2x÷2=40÷2，x=20。检验：左边=2×（20-16）=2×4=8=右边，所以x=20是原方程的解。）

（四）实际问题与方程

数学来源于现实生活，又应用于现实生活。“实际问题与方程”的教学，就是把我们学会的方程和解方程的知识，应用于解决现实生活中的数学问题。教科书在例1和例2的学习之后，归纳了三点：“1、找出未知数，用字母x表示；2、分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程；3、解方程并作答。”归纳得非常精准。要学生记住这三点不是难事，然而，让学生把这一解题的方法步骤用于实际问题的解决，又确实不容易。下面谈谈我对这三个解题步骤的理解。

1、找出未知数，用字母x表示。在解题时，严格遵循“求什么就设什么，并用字母x表示出来”的解题规律，当我们用字母x表示未知数后，就把x同已知数一样看待，让未知数参与进已知数中进行思考问题，应用到具体问题的数量关系中去。

2、分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程。

这一环节，既是教学的重点，也是难点，同时又是列方程解决实际问题的关键点。数学问题的解决过程实质是一个探索和创新的过程。对于学生来说要解决的每一个数学问题，都是新的问题，要达到解决问题的目的，我们要引导学生根据具体的问题情景，对自已掌握的知识和方法重新组合形成新的策略和方法，去探索和发现解决问题的方法和途径。这一过程不仅能让学生获得初步的创新能力，同时还能培养学生从小养成创新意识和创新思维的习惯，为后续学习打下良好的基础。那么，怎样“分析实际问题中的数量关系，找出等量关系”呢？

首先，读题，正确理解题意，找出题中体现数量关系的“关键句”。课本中的例1、小明破纪录啦！成绩为4.21m，超过原纪录0.06m，学校原跳远纪录是多少米？其中“成绩为4.21m，超过原纪录0.06m”就是关键句。

其次，把“关键句”抽象成数学表达。即“原纪录+超出部分=小明的成绩”、“小明的成绩=原纪录+超出部分”、直接表达为“成绩4.21m=原纪录+0.06m”也未尝不可。

第三，用数学符号列出方程。“设学校原跳远纪录是x米。”则有方程：x+0.06=4.21、4.21=x+0.06，这两个方程实质是同一个方程，只是表现形式不同而已。

比如：故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场面积的面积是多少万平方米？关键句是：“72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16萬平方米”；等量关系是：“天安门广场面积×2-16=故宫的面积”，或者“72=天安门广场面积×2-16”；方程是：2x-16=72、或者72=2x-16。

又比如：苹果每千克5元，妈妈用20元钱能买苹果多少千克？关键句是：买苹果。等量关系是：单价×数量=总价。方程是：5x=20。常用的数量关系式就是我们列方程的等量关系式。

再比如：学校篮球场的周长是90米，长是30米，宽是多少米？关键句是：篮球场的周长。等量关系是：2（长+宽）=周长。方程是：2（30+x）=90。常用的公式也是我们列方程的等量关系式。

另外，在“分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程”这个环节，我们也经常用画线段图的方法来分析数量关系，找出等量关系，列出方程。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具。

在教学实践活动中，这些解决问题方法我们既要教给学生，同时还必须教会学生。直接根据“关键句”来分析问题，有利于培养学生的抽象思维能力，而根据线段图来分析问题，有利于培养学生的形象思维。不同的思维方式和思维习惯，没有优劣之分，目的不是为了一题多解，而是为了发展学生的思维，培养学生解决实际问题的能力，同时也使学生深刻体会“等量关系”的本质特征。

3、解方程并作答。有了前面的知识和能力储备，学生都能顺利完成，但要格式规范，过程简洁，结果正确。

总之，在教学实践活动中，不断改进与完善自己的教学方法，围绕学生已有的知识基础和认知规律展开相应的教学活动。以学生的生活实际为学习背景，学生更容易理解新知识，让学生体验学习数学是一件轻松愉快的事，以便学生从算术思维向代数思维过渡，掌握列方程、解方程的知识技能，逐步培养学生的方程思想，丰富学生解决实际问题的策略，提高学生学习数学的自信心，为学生后续学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]义务教育小学数学新课程标准.

[2]解读《义务教育小学数学课程标准》（2016年版） 黄秀华.