基于特征值线性拟合误差的信源数估计方法*

陈明建，龙国庆，黄中瑞

（国防科技大学电子对抗学院，合肥 230037）

0 引言

波达方向（DOA）估计一直是雷达、通信以及声纳等领域研究的重要内容之一［1］。由于具有优良的超高分辨特性，空间谱估计技术已成为DOA估计的经典方法。如基于子空间分解的多信号分类法（MUSIC）［2］、旋转子空间不变法（ESPRIT）［3］以及子空间拟合法［4］。在空间谱估计技术中的大部分算法均需要知道入射信号数，因此，信号源数是阵列信号处理中的一个关键问题。典型的信源数估计方法包括基于AIC准则［5］和MDL准则［6-7］的信息论方法、基于特征值一步预测法［8］、贝叶斯预测密度法［9］等。其中信息论法实际上是给定一组观测数据和一系列参数化的概率模型，然后选择与观测数据拟合最好的模型。由于需要对参数进行估计，所以基于AIC准则和MDL准则的信息论方法一般只适合于高斯白噪声条件。基于特征值一步预测法、贝叶斯预测密度法也均假定阵元噪声为高斯白噪声，利用信号特征值明显大于噪声特征值的特点实现信源数估计。

在实际应用中白噪声的假设并不是总是成立，如当阵元间通道存在幅相不一致或互偶时，实际的噪声模型可能是空间非平稳，非均匀色噪声。此时基于高斯白噪声假设的信源估计方法性能下降甚至失效。为了克服色噪声引起信源数估计误差问题，近些年来盖氏圆盘法（GDE）［10］、正则相关法［11］、基于对角加载的特征值校正方法［12］以及SORTE法［13-15］等相继提出。GDE方法同时利用了特征值和特征向量信息，因此，在色噪声条件下仍然可以正确估计信源数，但是它在低信噪比时性能较差，且调整因子的选择影响算法性能。正则相关技术是利用空间分离的两个子阵接收数据并且要求两个子阵之间的噪声不相关，那么可以通过合理的相关分析而克服色噪声的影响，但缺点是对阵列几何结构的严格限制，因此，实用性受到了极大的限制。基于对角加载的信源数估计方法一定程度上解决了噪声特征值发射引起信源估计性能下降的问题，但是需要人为设置对角加载量，最优加载量无法准确获得。SORTE法利用了特征值的方差信息构造信源估计判决函数，在白噪声和色噪声背景下均能有效实现信源数估计。

针对非均匀色噪声背景下信源数估计问题，本文提出了一种基于特征值总体最小二乘线性估计误差的信源数估计方法。该方法利用数据协方差矩阵特征值线性拟合误差，并结合信息论的罚函数得到了信源数估计判决函数。该方法在色噪声背景下能够实现信源数一致估计，且在低信噪比、短快拍时仍然具有良好的估计性能。

1 信号模型

式中，符号E（·）表示统计期望值，符号（·）H表示共轭转置，为K×K维信号的协方差矩阵，为K×K维噪声的协方差矩阵。若噪声为空时均不相关的非均匀色噪声，则Q可表示为

2 典型信源数估计法

2.1 基于对角加载的MDL法

在理想白噪声背景下噪声特征值近似相等，MDL准则能有效实现信源数一致估计，但在空间非均匀色噪声背景下噪声特征值将变得发散，此时基于信息论准则信源数估计方法将失效。针对该问题，基于对角加载的修正采样数据协方差矩阵可表示为：

2.2 盖氏圆方法

盖氏圆方法是对数据协方差矩阵R进行酉变换估计信号源个数。若对R进行分块

其中，R'为R前M-1行和前M-1列组成的矩阵。

利用R'特征分解得到特征向量矩阵V构造酉变换矩阵T

酉变换矩阵T对协方差矩阵R进行如下变换

则GDE准则可描述为

式中，N是采样快拍数，D（N）是与快拍数有关的调整因子。当k由小到大进行取值时，假设当k=kGDE时，GDE（k）第1次出现负数，则信源数为kGDE-1。

2.3 SORTE算法

SORTE算法是利用特征值二阶统计量方差信息构造信源数估计判决函数，定义SORTE函数为

3 特征值线性拟合的信源数估计

3.1 色噪声条件下特征值分布

图1 数据协方差矩阵的特征值分布

由图1可知，前3个特征值对应信号空间，后7个特征值对应噪声空间，当SNR为10 dB时，信号特征值相差不大，而噪声特征值近似相等，可以根据大特征值个数判断信源个数；但当SNR为0 dB时，大特征值数目与信源数不相符，此时噪声特征值出现了发散；随着信噪比进一步降低，噪声特征值发散程度进一步增加。

3.2 特征值的总体最小二乘线性拟合

为了分析数据协方差矩阵特征值分布情况，利用总体最小二乘法线性拟合法，分析噪声特征值分布。总体最小二乘方法（TLS）也称为最小距离平方和法，能够同时考虑自变量和因变量误差从而使得函数的解算结果不会因自变量和因变量的选择不同而改变。假定线性方程数学表达式为：

所有观测值到直线的距离平方和可表示为

本文采用正交总体最小二乘法计算线性拟合参数。由几何及微积分可知拟合直线必须通过M个数据点的中心，才能使拟合误差最小。其中，M为样本点数，即阵元数。即可将直线方程转化为，求出即为TLS的解。

解为

对于总体最小二乘的特征值拟合误差可表示为

3.3 信源数估计

考虑到拟合误差ξ（k）是单调不增函数，与信息论中似然函数的性质类似。利用MDL准则罚函数，构造判决函数，可以下式判决函数求解信源个数

4 仿真实验

仿真条件：均匀线阵阵元数为M=10，阵元间距为半波长。3个独立远场窄带信号入射到天线上，入射角度分别为［-10°，35°，60°］，噪声为复高斯白噪声，且与信号不相关。分别对MDL准则法、GDE法、对角加载 MDL法（简写为 LMDL）、SORTE法以及本文方法（记为TLS-MDL）在不同信噪比条件和不同快拍数条件下的信源估计性能比较。其中GDE法中D（N）=0.7，LMDL的对角加载量。每次实验结果为200次Monte Carlo实验统计均值。

实验1白噪声背景下成功检测概率与信噪比、快拍数关系。定义成功检测概率为正确估计信源次数与实验次数之比。假定阵元噪声为理想的高斯白噪声。图2是采样快拍数为200时成功检测概率与SNR的关系曲线。图3是SNR为0 dB时成功检测概率与快拍数的关系曲线。

图2 白噪声背景下成功检测概率与SNR的关系曲线

图3 白噪声背景下成功检测概率与快拍数的关系曲线

由图2可知，在高斯白噪声条件下，所有的信源数估计方法的成功检测概率随SNR增加而提高，在一定SNR条件下均能实现信源数100%成功估计，但本文方法在低SNR条件下性能更优，SORTE法次之，基于对角加载的MDL算法性能在白噪声背景下反而更差。这是由于特征值校正是以牺牲SNR为代价的，这与对角加载的物理意义是一致的，因为对角加载相当于向阵列注入白噪声。

由图3可知：GDE法虽然在小快拍时成功检测概率达到了80%以上，但收敛速度较慢，这主要是由于GDE法调整参数D（N）与快拍数相关，若采用固定的调整参数，则算法性能有所下降；MDL法只有在快拍数较大时才能有较高的成功检测概率；本文方法在快拍数为40时成功检测概率接近100%，因此，在小快拍时本文方法性能更优。

实验2色噪声背景下成功检测概率与信噪比、快拍数关系。假设噪声为非均匀空间色噪声，噪声协方差矩阵Q同上文中的3.1节设置。下页图4为采样快拍数为200时成功检测概率与SNR的关系曲线。图5为信噪比为0 dB时成功检测概率与快拍数的关系曲线。

图4 色噪声背景下成功检测概率与SNR的关系曲线

图5 色噪声背景下成功检测概率与快拍数的关系曲线

由图4、图5可知，在非均匀色噪声条件下，MDL算法将失效，而对角加载的MDL能够一定程度上克服噪声特征值发射的影响，解决了传统MDL算法无法适用于色噪声环境的问题。GDE法由于综合利用了特征值和特征向量信息，因此，对噪声模型没有特定的限制；在SNR小于-14 dB时，虽然SORTE法成功估计概率略高于本文方法，但总体检测概率较低；在SNR等于-10 dB时，本文方法成功检测概率要远超过其他类方法，且算法的收敛性更快。因此，相比于其他类方法，本文方法在低信噪比、小快拍条件信源数估计性能更优。

5 结论

针对实际应用环境中普遍存在非均匀空间色噪声背景下的信源数估计问题，本文提出了基于特征值最小二乘线性拟合误差的信源数估计方法。该方法通过对数据协方差矩阵的降序特征值进行最小距离平方和的线性拟合，利用拟合误差与拟合点的单调不增特点，并结合MDL准则惩罚因子构造判决函数实现信源数估计。仿真结果表明：该方法在色噪声背景下能够实现信源数的一致估计，尤其是在低信噪比、小快拍条件下信源数估计性能要优于其他类方法。