例谈用数形结合解函数题时的做法及易错点

杨清梅

著名的数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合无限好，数形隔离万事非”.

数形结合的教学思想就是在解题过程中充分运用数与形两者存在的关系，将数量关系与空间关系结合起来进行解题的一种方法，也是我国现阶段数学教学的重要内容之一.数形结合的教学思想是由以数辅形和以形助数两个方面组成.形是方法，数是最终的解题目的[1].

本文笔者将从一些课堂实例出发，例谈在函数教学中如何通过研究函数图像，得到函数的特点与性质，进而更快速地解决问题，并且举例说明在画图时需要特别注意的一些易错点.

例1已知函数f（x）=x2，01， 若方程f（x）=kx-2有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是.

【思路分析】方程f（x）=kx-2有两个不相等的实数解两函数 y=f（x），y=kx-2 的图像有两个不同的交点.问题转化为画两个函数的图像即可.函数y=f（x）不含参数，是一个确定的分段函数，可以画出图像，函数y=kx-2虽含参数，但可知图像是一条过定点M（0，-2），斜率不定的直线（相当于绕点M旋转），问题得以解决.

【解题过程】画图如下：

由图可知，当k∈[3，+∞）时，两函数 y=f（x），y=kx-2 的图像有两个不同交点，即方程f（x）=kx-2有两个不相等的实数解.

【教学反思】在实际课堂教学中，发现不少学生的答案还包含k=2，为什么会造成这种错误呢？关键在于学生对函数的增长速度（即函数的凹凸性）认识不全，对于g（x）=ln（x-1）（x≥2）与h（x）=2x-2（x≥2），两者都是单调递增，且均过点（2，0）（交点），是否还有另一交点，取决于两函数的大小关系，对两函数二次求导，g″（x）=-1（x-1）2<0，而h″（x）=0，可知g（x）的增长速度比h（x）慢，所以在（2，+∞）上h（x）>g（x），故无另一交点，k=2不是答案.

由于对函数图像的凹凸情况认识不清，导致在做题的过程中出现错误，这种现象很常见.

例2已知函数f（x）=sinπ2x-1，x≤0，logax（a>0且a≠1），x>0 的图像关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是.

A.0，55

B.55，1

C.33，1

D.0，33

【思路分析】已知函数y=f（x）的图像关于y轴对称的点至少有3对两函数

g（x）=sin-π2x-1，h（x）=logax（a>0且a≠1） 的图像在（0，+∞）有三个不同的交点，只需画出图像即可.

【解题过程】

1.当a>1时，图像如下，由图可知，只有一个交点，不符合.

2.当0

【教学反思】在备课组集体备课中，有教师提出此题目有误.由上图，当h（x）的图像经过点F（5，-2）时，两图像的交点个数不是两个，为此，笔者用几何画板验证（如下图所示）.当过F点时，两图像已相交三个交点.实际上，由g（x）=sin-π2x-1与h（x）=logax（a>1）的凹凸性可知，两个函数在点F处并不会相切，即不能由h（x）的图像经过点F（5，-2）得到a的临界值55（实际上，两函数相切的切点横坐标x0<55，由于与本文没有直接关联，故在此不赘述）.

为了避免此情况，现将例2改编如下：

变式1函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|，若函数g（x）=f（x），x<0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是.

【解题过程】

1.当a>1时，图像如下，由图可知，只有一个交点，不符合.

2.当0

上述两个例子中，出现错误的原因都是由于对两个函数的增长速度快慢判断不清，导致画图像时出现误差.在以后做题过程中，若遇到在某个区间，两个函数同时单调递增（减），通过画其图像求解交点时，可以通过二次求导判断两者增长速度的快慢，进而准确画图，避免错误.

【参考文献】

[1]盛继中.探析高中数学数形结合的解题方法[J].时代教育，2013（10）：135.