基于主成分分析法与量变质变判别模式的汛期分期

唐 莉，张永波，祝雪萍，王权威

(太原理工大学水利科学与工程学院，山西太原030024)

0 引 言

合理确定汛期分期不仅是分期设计洪水和分期汛限水位的基础，对洪泛区管理、水库防洪及实现洪水安全利用等也都具有重要意义[1]。汛期具有随机性、确定性、模糊性等变化规律[2]，目前常用的汛期分期方法有[3- 5]：数理统计法、Fisher最优分割法、模糊集分析法、变点分析法、分形分析法等。这些方法存在考虑因素单一，或计算繁琐、理论依据薄弱、阈值选取主观性强等缺陷，不能简便合理地进行汛期分期[6]。汛期分期是一个可变集，并且非汛期过渡到汛期再逐渐过渡到非汛期以及前汛期过渡到主汛期再到后汛期，符合唯物辩证法哲学规律。即，具有量变到质变的过渡性[7]。本文采用以可变集理论为基础，且数学概念清晰、理论性强的量变质变判别模式，结合主成分分析法对李仙江流域进行多类型指标下的汛期分期，并将多种方法分期结果进行了对比分析。

1 主成分分析法

汛期分期是基于多种指标的有序聚类分析，各指标对样本的重要性有所不同，本文采用主成分分析法计算各指标权重。具体步骤如下：

(1)构造样本阵X，对样本阵X进行标准化得到标准化阵

(1)

(2)计算标准化阵Y的相关系数矩阵

(2)

(3)计算特征值λi与特征向量ei。对于λi(i=1，2，…，m)由|λIm-R|=0求出，并对其进行排序，即λ1≥λ2≥…≥λm≥0；同时根据每一个特征值λi求出其特征向量ei。

(4)计算主成分Fi贡献率Ci及累计贡献率Ai。即

(3)

(4)

当λk对应的Ci≥85%时，则其有k(k≤m)个与λ1，λ2，…，λk对应的主成分。

(5)计算主成分载荷

通过式(5)得到lij，再由式(6)得到各主成分的线性模型

Fi=e1iX1+e2iX2+…emiXm(i=1，2，…，k)

(6)

(6)综合得分模型为

其中，ai反映了各指标变量在主成分中的综合重要性。

(7)各指标变量的权重为

(8)

在构造好样本阵X后，可用PASS软件分析得到主成分贡献率、累计贡献率与主成分载荷(即成分荷载)。

2 量变质变判别模式的汛期分期原理与步骤

2.1 对立差异函数

令

(9)

D:U→[-1，1]u|→D(u)∈[-1，1]

(10)

图1 对立差异函数示意

2.2 模式原理与步骤

(1)构建n个指标特征值矩阵

其中，xim为时序m指标i的特征值。

(2)确定时序研究对象ut指标i的特征值xim落入汛前期与主汛期或主汛期与后汛期相对隶属度为1的标准值区间矩阵[Ni1，Ni2]，已知矩阵X，可得标准区间矩阵Y=(Nih)，其中i=1，2，3…n;h=1，2则

Ni1=(minxim，maxxim)，Ni2=(maxxim，minxim)

(11)

式中，maxxim，minxim分别为时序集xim的最大、最小特征值。

(3)计算xim落入[Ni1，Ni2]区间的相对隶属度

μA(μt)=(xim-Ni1)/(Ni2-Ni1)

(12)

(4)根据主成分分析法确定各指标的权重wi。

(5)计算ut综合相对隶属度

(13)

式中，α为优化准则参数；P为距离参数。α=1为最小一乘方优化准则，α=2为最小二乘方优化；考虑到α=2对距离具有放大或缩小效应，在汛期分期应用中选取α=1。若采用优化准则参数α=1，距离参数为海明距离，即P=1；则式(13)变为

(14)

若汛期分期为非线性系统，可采用欧氏距离，即P=2，式(13)变为

(15)

(16)

3 实例应用

李仙江流域国境内的流域面积为19 309 km2，属云南省西南纵谷区南部，位于我国云贵高原西南边缘、横断山脉南段，属南亚热带高原季风气候，受地形、季风、低纬度的影响，具有复杂多变的气候特征。降水年内分配极不均匀，流域的多年平均汛期为6～11月。

3.1 基本资料及指标选取

选取汛期6月～11月为分期的研究论域，以旬为基本单位，将整个论域划分为18个旬。以流域内多年汛期逐日降雨资料为基本资料，取能反映水库控制流域汛期内暴雨变化特征的5个因子作为影响因子，即多年旬平均雨量、旬最大1 d雨量(mm)、旬最大3 d雨量(mm)、旬最大7 d雨量(mm)。洪水指标选取：旬多年旬平均流量(m3/s)[9]。为了对不同类型指标对分期结果的影响进行对比，本文分研究考虑综合指标的汛期分期、研究仅考虑降雨指标的汛期分期和研究仅考虑洪水指标的汛期分期3种情况分析。

3.2 综合因素分析

根据汛期划分指标特征值，得到从汛前期过渡到主汛期和从主汛期过渡到后汛期的暴雨指标指标特征值矩阵X1(具体略)；根据矩阵X1和式(11)可得从汛前期过渡到主汛期和从主汛期过渡到后汛期暴雨指标的两个标准区间矩阵

用SPSS软件对标准化的样本数据进行主成分分析，可得表1及表2。

表1 解释的总方差

表2 成分1多年旬平均指标矩阵

由表1可知，主成分1特征累积方差贡献率≥85%。因此，第1个主成分能够反映各指标的大部分信息。

综合得分模型F=0.470X1+0.472X2+0.474X3+0.473X4+0.328X5。

各指标的权重ω=(ω1，ω2，ω3，ω4，ω5)=(0.212，0.213，0.214，0.213，0.148)。

应用式(12)与矩阵Y11和Y12，可得从汛前期过渡到主汛期和从主汛期过渡到后汛期各降雨指标的相对隶属度矩阵U1t(略)；采用主成分分析法所得权重，根据式(13)可得到在线性模型和非线性模型下的相对优属度。

当α=1，P=1时v1(u1t)=(0.21 0.03 0.73

0.84 0.96 0.93 0.84 0.81 0.70 0.64 0.52

0.44 0.46 0.29 0.39 0.15 0.05 0)；

当α=1，P=2时v1(u1t)=(0.30 0.08 0.70

0.79 0.90 0.91 0.84 0.81 0.70 0.64 0.53

0.44 0.45 0.29 0.39 0.15 0.05 0)；

0.82 0.93 0.92 0.84 0.81 0.70 0.64 0.53

0.44 0.45 0.29 0.39 0.15 0.05 0)。

0.43 0.63 0.86 0.84 0.68 0.62 0.40 0.28

0.05 -0.11 -0.09 -0.42 -0.22 -0.69

-0.90 -1]。

应用量变与质变判别模式对基于综合指标的汛期演变过程分析如下：

3.3 降雨与洪水因素分析

0.85 0.64 0.59 0.37 0.30 0.08 -0.10

-0.32 -0.18 0.15 0.46 0.71 1 0.77 0.52

0.25 0.06 -0.04 -0.09 -0.12 -0.20

-0.41 -0.49 -59)。

3.4 结果比较和分析

基于不同指标的对立差异度时程变化状况比较见图2。

图2 基于不同指标的对立差异度时程变化状况

结合各项指标对立差异度与图2可知：

(1)依据综合指标。前汛期、主汛期与后汛期可分别定为6月1日到6月22日、6月23日到9月17日、9月18日到11月30日。

(2)依据降雨指标。前汛期、主汛期与后汛期可分别定为6月1日到6月21日、6月21日到9月18日、9月19日到11月30日

(3)依据洪水指标。前汛期、主汛期与后汛期可分别定为6月1日到6月30日、7月1日到9月20日、9月21日到11月30日。

表3给出基于暴雨因子、洪水因子、综合因子以及基于数理统计法、模糊集合分析法、Fisher最优分割法对研究流域汛期分期结果的比较。

图2与表3显示：

(1)基于洪水指标的分期滞后于基于暴雨指标的分期，而基于综合指标的分期基本介于两者之间，9月中旬～10月上旬出现分歧。其原因可能是本文资料有限，所选洪水因素指标单一，存在小幅误差。总体上体现了洪水是暴雨与地表下垫面等多种因素综合作用的反映，洪水要滞后于暴雨，这与实际情况是相符的，一定程度上反映了汛期分期的物理背景。

表3 基于不同指标的汛期分析结果

(2)本文基于研究结果与数理统计法、模糊集合分析法、Fisher最优分割法的比较说明了本文的分析成果可靠。

4 结论与建议

(1)汛期分期结果与分期指标有密切关系，实际应用的应综合考虑多种指标，让分期结果更客观；另外，也可以利用不同指标的分期结果，提供防洪安全或挖掘洪水资源潜力。

(2)本文采用的方法分期结果能反映指标的物理意义，有较强的理论背景，数学概念清楚；计算方便，结果直观，分期合理。

(3)我国南北方汛期时序具有明显的差异性，北方采用Fisher最优分割的结果多为三段式，然而南方采用Fisher最优分割的结果可为四段式，本文采用的理论方法视汛期为三段式，具有一定局限性，本研究根据对立差异度的意义，提出基于量变质变模型的过渡期划分标准，虽与Fisher最优分割法[9]结果表现出较高的一致性，但也需要在今后的研究中不断地验证与完善。