用整体代入法解决数学问题

袁宏观

整体思想，就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体代人法是解代数题的一种重要而又基本的方法，对求代数式的值、解方程（组）等问题，都行之有效.整体代入法是初中阶段比较常用的方法，运用整体代入法解决有关数学问题能使有些问题做起来比较简单，能够起到事半功倍的效果.

例1 甲、乙二人相对而行，他们相距10千米，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一条狗，狗每小时跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出发，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候又向乙跑去，如此继续往返，问当甲、乙两人相遇时，这条狗一共跑了多少千米？

【分析】这是我国著名数学家苏步青在德国时，德国一位数学家给他出的一道题，苏教授很快就解出了这道题目.这道题的难点就是甲身边的那条狗.如果我们先计算狗从甲的身边跑到乙的身边的路程，再计算狗从乙的身边跑到甲的身边的路程……如此把狗跑的路程相加，这样很烦琐、笨拙且不易计算.苏教授从整体着眼，根据甲、乙出发到相遇经历的时间与狗所走的时间相等，问题就迎刃而解了.

解：设两人从出发到相遇用x小时，

3x+2x=10，x=2.

∴狗共跑了2×5=10千米.

【点评】苏教授在解题时，把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而能触及问题的实质：狗从出发到甲、乙两人相遇所用的时间恰好是甲、乙二人相遇所用的时间，从而使问题得到巧妙地解决.苏教授这种解决问题的思想方法实际上就是数学中的整体思想的应用.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，捷足先登.

例2 已知2x2+3x-1=5，则代数式-6x2-9x+1的值为（ ）.

A.17 B.18 C.-18 D.-17

【分析】本道题如果直接解方程比较麻烦，因为它的实数解是无理数，并且有两个不相等的无理数解，代入也比较麻烦，若把所求的代数式变形，运用整体代入，则不仅化难为易，且妙趣横生.

解：∵2x2+3x-1=5，

∴2x2+3x=6，

∴-6x2-9x+1=-3（2x2+3x）+1

=-3×6+1=-17.选D.

【点评】要想准确、迅速地解答化简（计算）求值题，必须认真审题，在真正理解题意、弄清题目要考查的对象后，才能做到目标明确、有的放矢.

例3 已知当x=m时，代数式ax5+bx3+cx+1的值是4，求当x=-m时，代数式ax5+bx3+cx-1的值.

【分析】本题应将x=m代入代数式ax5+bx3+cx+1中去，这样与所求的代数式有内在的联系，便于整体代入.

解：由已知得：当x=m时，代数式ax5+bx3+cx+1=am5+bm3+cm+1=4，

∴am5+bm3+cm=3.

当x=-m时，代数式ax5+bx3+cx-1

=a（-m）5+b（-m）3+c（-m）-1

=-（am5+bm3+cm）-1=-3-1=-4.

【点评】本题两个代数式中未知部分相同，且x的指数都为奇数，所以当x取值互为相反数时，这部分代数式的值就互为相反数.

例4 （2015·无锡一模）已知关于x，y的方程组[2x+y=3k-1，①x+2y=-2，②]且x+y>1，试确定k的取值范围.

【分析】常规的思路是先解方程组，用k表示x，y，然后再代入不等式求解，这样做比较麻烦.如果我们着眼于“x+y”这个整体，只要将方程组中两个方程“整体相加”便可用k表示出x+y，进而达到目的.

解：将方程组中①+②，得3x+3y=3k-3，即x+y=k-1，又x+y>1，所以k-1>1，解之得k>2，所以k的取值范围为k>2.

【点评】解此类问题关键在于，我们要发现方程组与所提供的关于未知数的不等式之间的内在数量关系，以便确定两个方程组是相减还是相加，或者是将方程适当变形后再加、减.

例5 若买铅笔4支，笔记本3本，圆珠笔2支，共用11元；若买铅笔9支，笔记本7本，圆珠笔5支共用25元.求买铅笔1支，笔记本1本，圆珠笔1支，共需多少元？

【分析】設铅笔、笔记本、圆珠笔的单价分别为x元，y元，z元，由题意得[4x+3y+2z=11，9x+7y+5z=25.]要求的是x+y+z.由已知条件只得出两个三元一次方程，如果想求出x、y、z再代入，办不到；若把x+y+z视为整体，问题就容易解决了.为此，将方程组变形为：[2x+y+2x+y+z=11，22x+y+5x+y+z=25，]解得x+y+z=3，即购买铅笔1支，笔记本1本，圆珠笔1支，共需3元.

【点评】在求解某些数学问题时，把一个较复杂的式子当作一个整体，根据其本身结构特征作整体处理，就能开拓思路，迅速求解.

例6 若[1a]-[1b]=4，那么[a-2ab-b2a-2b+7ab]的值是 .

【解析】方法一：本道题首先将所求代数式变形为[1b-2-1a2b-2a+7]，由[1a]-[1b]=4，可得到[1b]-[1a]=-4，代入可得原式=6.

方法二：将[1a]-[1b]=4变形为b-a=4ab，

即a-b=-4ab，

∴[a-2ab-b2a-2b+7ab]=[a-b-2ab2a-2b+7ab]

=[-4ab-2ab-8ab+7ab]

=[-6ab-ab]=6.

【点评】用整体的方法去思考问题，对所要求的式子进行适当变形，然后结合所给的条件，对条件进行小变形，这样就可以达到事半功倍的效果，解决问题又快又简单.

例7 若ab=1，那么[aa+1]+[bb+1]的值是 .

【解析】由ab=1可得，[aa+ab]+[bb+1]=[11+b]+[bb+1]=[1+b1+b]=1，从而知答案是1.

【点评】解决这个问题的关键是把1用ab替换下来，然后通过约分求得结果.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）