正确区分增根、无解、有解

丁霞

解分式方程通常是在分式方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程.有时由于x的取值范围发生变化，得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种在解题过程中增加的解称为分式方程的增根.本文以一个含有字母系数的分式方程为例，帮助同学们正确理解、区分“增根、无解、有解”的问题.

一、会产生增根

【例1】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]会产生增根？

【分析】分式方程要产生增根，最简公分母必须为零，即x=2或x=-2.因此可通过x=2或x=-2来讨论k的取值问题.

【解】去分母得：2（x+2）+kx=3（x-2）.

化简整理得：（1-k）x=10.

若方程产生增根，则增根为x=2或x=-2.

将x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4.将x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6.故当k=-4或k=6时，原方程会产生增根.

【点评】利用增根的定义求解的问题是较为重要的题型，解决的方法是：（1）将分式方程去分母转化为整式方程；（2）让最简公分母为零，确定增根；（3）将增根代入转化后的整式方程，解之就可得到欲求的待定系数的值.

二、不会产生增根

【例2】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]不会产生增根？

【分析】“不会产生增根”是“会产生增根”的对立面，由此我们可以先求出分式方程产生增根时k的值，然后把这些值一一排除，即可得到分式方程不会产生增根时k的值.

【解】同例1，得到当k=-4或k=6时，原方程会产生增根.故当k≠-4且k≠6时，原方程不会产生增根.

【点评】当k=-4时，分式方程产生增根x=2；当k=6时，分式方程产生增根x=-2，故当k≠-4且k≠6时，原方程不会产生增根.这里需要注意的是：连接词用“且”，不能用“或”，也就是k≠-4、k≠6必须都满足时，分式方程才不会产生增根.

三、无解

【例3】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]无解？

【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，整式方程无解则原方程无解；整式方程虽有解，但这个解使最简公分母为零，是增根，则原方程也无解.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

当k=1时，得：0·x=10，该方程无解，从而原方程也无解.当原方程有增根时，原方程也无解.若原方程产生增根，则增根为x=2或x=-2.

将x=2代入（1-k）x=10，得：k=-4，即当k=-4时，原方程会产生增根x=2，无解；将x=-2代入（1-k）x=10，得：k=6，即当k=6时，原方程会产生增根x=-2，无解.

综上所述：当k=1或k=-4或k=6时，原方程无解.

【点评】分式方程无解不仅仅是由于有增根，也有可能是由于转化得到的整式方程本身就无解.因此，大家考虑问题要全面.

四、有解

【例4】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]有解？

【分析】分式方程有解，说明去分母后得到的整式方程不但有解，而且它的解一定不是增根.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

因为方程有解，且这个解不是增根，所以，（1）k≠1；（2）x≠2，即k≠-4；（3）x≠-2，即k≠6.综上所述：当k≠1且k≠-4且k≠6时，原方程有解.

【点评】无解的反面即为有解.

五、解为正数（负数）

【例5】当k为何值时，关于x的方程[2x-2]+[kxx2-4=3x+2]的解是正数？

【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再对得到的整式方程进行讨论.

【解】同例1，得到：（1-k）x=10.

因为解是正数，从而有x>0且x≠2.则[1-k>0，1-k≠5，]解之得：k<1且k[≠]-4.综上所述：当k<1且k[≠]-4时，原方程的解是正数.

【点评】解含有字母系数的分式方程，通常是去分母，将分式方程转化为整式方程，把未知数用含字母系数的代数式表示，然后根据条件列不等式.需要注意的是解为正数（负数），意味着方程一定有解，因此要排除增根！

分式方程的增根不是原方程的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根，利用这一点可以解决有关增根的问题.

同类训练：

1. 当k为何值时，关于x的方程[kx2-1]=[2x+1+51-x]会产生增根？

2.当k为何值时，关于x的方程[3x+6x-1]=[x+kxx-1]不會产生增根？

3. 当k为何值时，关于x的方程[kxx-2]=[4x-2+1]无解？

4.当k为何值时，关于x的方程[6x-1=][x+3xx-1-kx]有解？

5.当k为何值时（k的范围），关于x的方程[3x+k2x+1=2]的解是负数？

参考答案：

1.当k=-4或k=-10时，原方程会产生增根.

2.当k≠-3且k≠5时，原方程不会产生增根.

3.当k=1或k=2时，原方程无解.

4.当k≠-5且k≠-3时，原方程有解.

5.当k<2且k≠[32]时，原方程的解是负数.

（作者单位：江苏省东台市实验中学）