从内隐到外显：追求数学课堂中“思维之美”

王锐

现代数学观认为，数学教学是以数学思维为核心的教学，是数学活动过程的教学。这是由数学思维的本质特征决定的。数学思维具有逻辑的严谨性、高度的抽象性和概括性、丰富的直觉与想象等特征。这些特征使得数学思维在寻求事物本质属性、探索事物之间的联系、把握事物结构、对事物发展做出预测等方面显示出惊人的优势。20世纪80年代，美国数学教育兴起的“问题解决”，主要指帮助学生学会用“数学的思维”方法观察世界、处理和解决实际问题。这种思维方法更能够体现思维本质，提高抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力。因此，思维方法的学习是数学教育的重要目标之一。有人说，没有思维，就没有真正的数学学习。这就要求我们数学教师，应针对教学内容和学生实际，激励学生将数学思维贯穿于整个数学学习和现实生活过程中，养成思考有条理、说理有依据的良好习惯。

那么，在数学教学活动中，如何建构以“数学思维”为核心教学策略？本文将结合具体案例加以阐述。

一、对话，让思维之美在脑海中缓缓流淌

德国著名学者克林伯格指出：“在所有的教学中，进行着最广义的‘对话。……不管哪一种教学方式占支配地位，这种相互作用的对话是优秀教学的本质性的标志。”不难发现，在教学中，对话者在遵守思维对话规则的前提下，其主体地位得到充分的尊重，他们能运用自己的智慧，独立地思考，并且自由地发表对问题的看法。同时，对话的主体也有倾听他人的意见、接受他人批评的义务，并对他人的意见做出自己的反馈。经过“表达—反馈—回应—反馈”，这是一个过程，使课堂中的线性交流变成网络模块式交流，让课堂中每一个生态因子都保持畅通的交流信息渠道，敞亮了师生的思维之思。而这样真正思维对话强调的是内在精神实质。这种精神实质就是：⑴思维对话必须以“我”“你”之间有无精神上的相互交互与回应为特征；⑵真正的思维对话必须体现主体平等、互相尊重、彼此批判、共享智慧、讲究实效等精神特征。这两种实质含义构成了真正思维对话的核心，其中前者建立在后者的基础上。

[案例1] “5的乘法口诀”教学片段

师：同学们，喜欢画画吗？

生（齐答）：喜欢！

师：好，那让我们画画自己的小手，好吗？

学生画手，然后教师将学生的作品展示在黑板上。

师：数一数，一共有多少根手指？

生1：5，10，15，20，25。

生2：一只手5根，5只手，一共25根。

（教师马上打断说：乘法还没学呢！）

生3：10，20，25。

（教师带学生一起5个5个地数，并板书：5→10→15→20→25。）

师：这样5个5个加太麻烦，所以古代劳动人民发明了新办法。

（揭题：“5的乘法口诀”）

……

思考与感悟：课堂，是师生智慧共生、情智交融、生命对话的“圣地”。其间，不仅有知识的传递、思想的碰撞、情感的交流，更有生命的“对话”。然而，本案例中，教师积极为完成“知识传递”而“不懈努力”着，却忽视了他所面对的是活生生的、有思想、有感情、有生命的学生。置学生已有的知识于度外，面对学生早已掌握的乘法口诀予以回避，这不仅是对学生知识和能力水平的不尊重，更是对他们个体生命关怀的缺失。

二、操作，让思维之美在思辨中走向深刻

荷兰著名教育家费赖登塔尔认为：数学教学应当实施“数学化”“再创造”过程，因此，教师应积极引导和帮助学生从熟悉的现实生活开始，沿着数学发现的活动轨道，从感性认识到理性。而操作学习恰恰是沟通具体到抽象、感性到理性的桥梁。正如瑞士著名心理学家皮亚杰所说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”也诚如美国教育家杜威所指出的：“让儿童在主观与客观交互作用中获取经验，必须通过儿童的亲身体验……从做中学要作为教学理论的中心原则。”数学操作学习的课堂教学流程一般为四环六段：创设情境，提出问题—操作探索，形成结论（操作感知，形成猜想—操作探索，验证猜想—操作交流，归纳结论）—实践运用，解决问题—总结反思，评价体验。

[案例2] “平行四边形面积的计算”教学片段

师： 今天我们一起来研究平行四边形的面积计算。

（说着，拿出了课前准备好的平行四边形纸片。）

师：请大家看，它的面积你会求吗？

（学生摇头。）

师：如果把它剪拼成我们学过的图形，这时，它的面积你会表示吗？

（说着，魔术般地沿着先画好的虚线剪开，顺利拼成了一个长方形。）

生：长乘宽。

师：对，此时的长正好是原来平行四边形的底，此时的宽正好是原来平行四边形的高。

（说着，板书它们的对应关系，顺利总结出了平行四边形的面积计算公式。）

思考与感悟：上述案例，看似经历了一个完整的推导过程，但实际上，学生在静静地看，教师是在不断地忙。教师用自己的推导经历，代替了学生的研究过程。教师成了主人，学生成了观众，再完美的推导与讲述，也只能是学生“静而观之”；再者，教师为了追求“流畅、顺利”的教学，不顾学生的实际情况和课堂反映，一味地自己努力着，当出示平行四边形纸片：“请大家看，它的面积你会求吗？”学生摇头时，教师急于“解围”——“如果把它剪拼成我们学过的图形，这时，它的面积你会表示吗？”原本挑战性的问题，就这样让教师给磨灭了，学生没有可思考与探究的问题，他们的思维很难打开。

三、融错，让思维之美在“试误”中真实回归

心理学家盖耶指出：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”当代科学家、哲学家恩格斯也指出：“要明确地懂得理论，最好的道理就是从本身的错误当中，从亲身经历的痛苦体验中去学习。”美国著名教育心理学家桑代克运用实验的方法表明，学习过程是一种渐进的尝试错误的过程，在这个过程中，无关的错误逐渐减少，正确的反应最终形成。通过“试误”，可充分暴露学生思维过程的薄弱环节，有利于对症下药。 因此，在学习数学过程中，通过暴露学生学习数学思维過程中的错误，提供以错误为源泉的学习反映刺激，可使学生从中审视、体验和反思，从而引起知错、改错和放错的良性反应。具体地，在教学中应遵循三方面的要求：⑴应当研究学生所犯的错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段；⑵在学生检查和改正自己的错误的实践中进行练习；⑶教师应当利用学生所犯错误来促进他们加深对数学要素和规律性的理解。

[案例3] “中位数”教学片段

练习巩固阶段，教师出示了这样一道题：

为了维持人体的需要，除了正常的饮食外，一个人每天应饮水1400毫升。下表是小林一周的饮水情况：

[星期 日 一 二 三 四 五 六 饮水量毫升 2100 1250 1300 1250 1300 1250 1700 ]

小林：我平均每天饮水1450毫升，足够啦！

分析上面的数据，你对小林饮水这件事情有什么看法？

这道题目解答完毕，教师又提出了一个问题：根据我们学过的有关统计的知识，你还能提出什么问题？

一个学生迫不及待地抢答：这组数据的中位数是多少？

师：谁能回答这个问题？

生1：这个数据的中位数是“三”，因为它排在中间。

生2：不对，应该是1250。“三”是星期几，不是数。

生3：不对，应该是1300。

……

师：有三种不同的答案。想一想，他们谁说得对呢？先独立思考后，再和周围的同学说一说。

学生独立思考并在小组里小声讨论。

生4：我认为是这组数据的中位数是1300。因为一组数据按照从小到大的顺序排列出来，位于中间的数才是中位数。

这组数据可以这样排列：1250、1250、1250、1300、1300、1700、2100.所以，1300才是这组数据的中位数。

（话音未落，教室里响起来热烈的掌声……）

思考与感悟：上述教学片段中，老师并未对学生的错误视而不见，或是简单地改错后草草收场，而是让学生充分表达自己的想法，辨清思路，让讨论不断深化……直到带领学生挖掘出现错误的深层次原因是“中位数”这个概念的内涵理解不透，从而使教学目标得以真正有效地落实。

四、等待，让思维之美在留白中精彩绽放

“生命化教育”的倡导者张文质先生指出：“教育是一个‘慢活‘细活，是生命潜移默化的过程，教育的变化是极其缓慢的、细微的，它需要生命的沉潜，需要‘深耕细作。”著名教育家苏霍姆林斯基也曾说过：“有经验的教师往往知识微微打开一扇通向一望无际的知识原野的窗子。”在课堂，当学生需要思考、需要操作、需要交流、需要消化时，教师应耐心地等待，让学生有充分的时间和空间去思考、去操作、去交流、去消化。哪怕是几秒钟的时间，也许就能够打开学生思维的大门，凸显思维活动过程，就会给学生自信和勇气，同时也给学生挑战自我的机会，让学生自己创造课堂的精彩。若无视这个规律急于求成，既不利于学习知识，更不利于培养能力，容易拔苗助长，欲速则不达。

[案例4] “求圆的面积”教学片段

学习“圆的面积计算”后，教师出了这样一道题：学校有一块面积20平方米的正方形空地，现要在它里面修一个面积最大的圆形花坛，这个花坛的面积有多大？

生1：教学圆的面积时，老师曾让我们估计圆的面积大约是其中一个小正方形面积的多少倍，而最终的结果是，圆的面积是一个小正方形的π倍。因为正方形的面积是20平方米，我们可以得出小正方形的面积是5平方米，也就是r2=5平方米。因此，S=πr2=3.14×5=15.7平方米。

师：想得真好！求出r2，从而使问题获得解决。

生2：在前一节课上，我们已经推导出已知直径，直接求出圆面积的公式S=[14]πd2=[14]×3.14×20=15.7平方米。

师：活学活用，真是太棒了！

生3：刚才我们在正方形内画出一个最大的圆，像这样的圆，同一个正方形里只有一个，是确定的，那么，我猜测这个圆的面积与正方形面积之间存在一种固定不变的关系。从生2的解答中，我们不难发现，圆面积正好是正方形面积的[14]π倍，所以，圆的面积是[14]×3.14×20=15.7平方米。

师：生3真了不起，他不但敢于大胆猜测，还注意倾听别人的发言，从S=[14]πd2中得出圆面积与正方形面积之间的关系。

生4：（高兴地喊起来）我又发现了一种方法。正方形的面积是20平方米，根据这一条件我们不难求出半径。我尝试着把正方形的面积乘5，变成100平方米，那么，正方形的边长就是10米，这时圆的面积是3.14×（10÷2）2=78.5（平方米）。正方形的面积乘5，圆的面积也乘5，因此求出原来圆的面就要除以5，也就是78.5÷5=15.7平方米。

教室里响起了热烈的掌声，我也情不自禁地鼓起掌来。

生5：从生4的扩大法中，我马上想到了缩小法。

……

思考与感悟：回顾上述教学片段，不得不感慨，精彩解法源于学生的凝神静思，静思的空间源自于教师的耐心等待。当学生思考不严谨时，教师微笑着默不作声是等待；当学生寻觅思路遇挫时，教师默默的巡视等待。等待是一种期望，是一种鼓励。多一些等待，学生就多一些自主探索的经历和体会，多一些对问题的深思和熟虑；多一些等待，学生就多一些与他人交流合作的机会和体验，多一些对知识的理解和提升……

课堂教学应当以学生为本，以学生的发展为本，教師在课堂教学中应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生意见，宽容学生的错误，满足学生的需要，为学生的思维发展创造氛围、条件，问题让学生提，问题让学生议，答案让学生辩，结论让学生得”。只有这样，我们的课堂教学才能焕发出生命的互动，学生思维能力的发展才能落到实处。