标准差、标准误差和估计标准误差辨析

刘忠广 河南工程学院工商管理学院

标准差、标准误差是统计学的重要概念。标准差是根据原始数据计算的，反映一组原始数据的离散程度。而标准误差是根据样本统计量计算的，反映统计量的离散程度。标准差与标准误差的区别还在于求标准差仅需要一个样本的数据，但是求标准误差需要多个样本的数据。而在实际应用中，往往是根据一个样本的数据来计算标准误差的，这时计算的标准误差就是估计标准误差。这几个概念比较抽象，理解起来比较困难。同时，不同的教材对标准误差也有多种叫法，如标准误[1]、抽样平均误差[2][3]、抽样标准差[4]等等。另外，在统计学教学内容的线性回归部分，不同教材对残差均方的平方根的叫法也有不同，如估计标准误差[5][6]、预测标准误差[7]、回归估计的标准误差[8]等，这些都给统计初学者带来了困惑和不解。

一、标准差

标准差的英文单词是standard deviation， standard是典型或平均的意思，deviation的含义是离差，指一个分布中的一个取值与该分布的平均取值之差。所以标准差是一个分布单个取值与均值之间的典型或平均离差[9]。具体计算时各变量值与其算术平均数（也称均值）离差平方的平均数称为方差，方差的平方根即为标准差。标准差反映了每个变量值与其均值相比平均相差的数值，能准确地反映出数据的离散程度，标准差是应用最广泛的反映数据离散程度的测度值。标准差的计算为：

如果获取的是总体的数据，反映总体数据离散程度的可用总体标准差，其计算公式为：

σ=，µ为总体均值，N为总体数据的个数

一般来说，我们获取的数据大多是样本数据，反映样本数据离散程度的为样本标准差，其计算公式为：

s=为样本均值，n为样本容量（下同）

二、标准误差和估计标准误差

标准误差（Standard Error）是某一统计量（如样本均值、样本均值之差、样本比例、相关系数等）抽样分布的标准差。标准误差用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的重要尺度。在实际应用中，标准误差往往是根据样本数据计算来的，根据样本数据计算的标准误差实际上是估计标准误差（在用统计软件计算时给出的都是估计标准误差）。常见的标准误差有样本均值的标准误差、样本比例的标准误差、样本相关系数的标准误差、线性回归方程斜率及截距的标准误差、回归估计的标准误差等。

三、举例说明

【例】从某一高校的女生中随机抽取10名学生，测其身高和体重数据见表1.

表1：某高校10名女生身高和体重数据

（一）用Excel的数据分析工具对这10名女生身高和体重进行描述统计，结果见表2.

表2：某高校10名女生身高和体重的描述统计

从表2可以看出这10名女生的平均身高为161.7cm，平均体重为61.1kg.表中标准差是身高和体重的样本标准差.标准误差分别是身高和体重的估计标准误差，是根据估计标准误差的公式计算出来的，即：

可以估计全校女生的平均身高和平均体重95%的置信区间分别为：

（二）利用Excel数据分析工具对该校女生身高与体重进行相关与回归分析，结果如表3、表4、表5.

表3 ：某高校女生身体和体重的回归统计

从表3可以得到相关系数为0.87，可以计算相关系数的标准误差

5.12 ＞ 2.306 ，所以拒绝原假设，结论是该校女生身高和体重相关关系显著.

表中的标准误差为回归估计的标准误差，其意义为，根据身高来预测体重时，平均的预测误差为3.91kg.

表4：某高校女生身高和体重的方差分析表

根据表4方差分析表，由于P＝0.00 ＜ 0.05，所以，身高与体重的线性关系显著.

表5：某高校女生身高和体重的回归分析表

四、结语

标准差、标准误差和估计标准误差这三个概念字面相似，但代表的含义有不同，标准差是根据原始观测数据计算出来的，计算标准差仅需要一个样本数据。标准误差是根据统计量抽样分布计算出来的，从理论上讲计算标准误差需要所有可能样本的数据，但在实际应用中，是根据一个样本的数据来计算标准误差的，这时的标准误差即为估计标准误差。