纳皮尔的对数模型

王斌儒 甘肃有色冶金职业技术学院 刘延卿 内蒙古通辽市第一中学

16世纪的欧洲大陆，资本主义蓬勃发展，在中世纪万马齐喑的科学技术也焕然一新。远洋航行、天文观测、船舶制造、军事创新的要求，源源不断地为数学的发展提供了不竭的动力，各种新思想新方法层出不穷，其中许多方法旨在简化计算。

一种办法是使用三角恒等式：

另一种办法是使用由完全平方公式得到的恒等式：

上述方法在实际应用中是不够的，局限性很强。事实上，我们需要从乘法群到加法群的一个同构映射将乘法运算转化成加法运算，而这正是纳皮尔对数简化计算的本质。

1 纳皮尔对数的起源

纳皮尔最初的动机是简化三角学的计算，特别是在天文学中极为重要的球面三角问题。在纳皮尔的时代，一个角的正弦并不是现在熟知的比值，也不是一个确定的数，而是角所对弦长的一半。

我们假设现在给定一个圆和圆心角，AB是圆内任意一条弦，并且C为AB的中点，如图 1所示：

图 1

此时 在数值上就等于｜ ｜。我们容易发现纳皮尔时代正弦值是随着半径变化的，半径越大，正弦值也就越大。

纳皮尔由此出发着手建立正弦的对数表。纳皮尔选择半径为107的圆，他的对数表由间隔一分的107的对数值组成。

2 等比数列与等差数列的对应

表 1

容易看出等比数列中任意两项的乘积对应等差数列中两项的和。如果等比数列足够稠密，理论上可以用上表来计算任意两个数的乘积（当时主要是三角函数值的乘积）。

基于这个朴素的想法，纳皮尔对数横空出世了。

最终纳皮尔选择了 =1-10-7，这样等比数列中的各项就紧紧挨在一起了。事实上，这样导致项的间距过小，为了避免出现小数，加之当时最精确的正弦表是7位有效数字，纳皮尔将每一项都乘以107，就是说规定：

表 2

如果用 表示纳皮尔的对数，就有

如果将表 2中的数都除以107，就得到表 3。

表 3

表 4

如果不计比例系数107，可以发现LN(ab)=LN(a)+LN(B)，也就是说纳皮尔对数是从到的一个同构映射，把乘法运算转化成了加法运算。

3 运动学模型

为了计算任意一个数的对数，需要对数函数的连续定义，而不是来自数列的离散定义，我们更加关心的是纳皮尔连续的对数定义。

从等比数列到等差数列的对应关系是定义对数函数的关键。纳皮尔从运动学出发建立了模型。模型源自一个朴素的想法：用一个匀速运动的点代替等差数列，用一个速度成比例的点代替等比数列。纳皮尔对数的定义，实际上是通过考虑两个点沿着两条直线的运动而给出的，因为纳皮尔时代只有物理运动的直观概念才能为连续变量的定量研究提供理论根据。直线上的动点直观上被看作是连续的，纳皮尔把对数和动点对应起来，直观上保证了对数的连续性。严格地讲，动点的速度是连续变化的，纳皮尔时代没有处理连续函数的数学工具，纳皮尔模型的严格表述需要使用微积分。

下面给出纳皮尔的运动学模型，见图 2。假定线段AB的长度是定值 107。

图 2

CD是一条无限延伸的直线。当t=0时，令P、Q两点分别从A、C出发。Q在CD上以速度107匀速运动。P在AB上的速度与PB的长度成正比，P的初速度也是107，容易知道P由A到B的速度从107减到 0。

假设t时刻，P到B的距离PB=X，Q到C的距离CQ=y。

纳皮尔规定：y是x的对数。我们记作y=LN(x)

我们接下来建立起它和通常意义下对数的联系。

P在A点时，我们有PB=107同时CQ=0，所以LN(107)=0。

我们通过解一阶线性微分方程来看看纳皮尔的函数y=LN(x)究竟是什么。

根据纳皮尔的运动学模型，我们有

积分得y=-107lnx+c

根据初值条件t=0时，x=107，y=0，因此得 c=107ln107。

做一个简单的变换，可以有我们更熟悉的形式。如果令

所以如果忽略因子107，我们可以再次得出本质上纳皮尔的对数是以 为底的。

我们只要对纳皮尔的模型稍稍加以修正就很容易地导出自然对数。我们假定P的速度与AP的长度成正比，Q的速度仍为常数。同时规定t=0时，AP=1，CQ=0。可以得到和上面类似的一个一阶线性微分方程，并且以自然对数y=lnx为解。

纳皮尔从1594年萌生对数的初步想法，经过20年的深入思考和精密计算，到1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio），正式宣告了对数的发明。200年后，法国数学家拉普拉斯毫不吝啬地盛赞对数：通过减少体力劳动，使天文学家的生命倍增。