部分简单不定方程的求解问题的讨论
2018-08-07郭梦媛高丽
郭梦媛 高丽
摘 要:利用一些基本的代数和数论方法总结出了关于二元一次不定方程的四种解法和关于二元二次不定方程的七种解法,为求解简单的不定方程问题提供了便利。
关键词:二元一次不定方程 二元二次不定方程 问题讨论
中图分类号:O112.2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2018)02(a)-0211-021 一次不定方程的概述
一次不定方程是指未知量次数为一的不定方程,为方便计算,本文在此主要研究二元一次不定方程,即形如的方程,求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。
定理1[2]:二元一次不定方程有整数解的充要条件是。
定理2[2]:如果二元一次不定方程有整數解,则此方程一切解可以表示为。
1.1 视察法
在二元一次不定方程中,当系数以及的绝对值较小时,可以用观察法求它的一个特解,从而得到其通解。
这种方法是很简单,但是它的适应范围比较有局限性,有些方程就会不变观察,所以我们还需要继续寻找其他方法。
1.2 辗转相除法
辗转相除法就是对整个不定方程用辗转相除法,以此化为等价的不定方程,直至得到有一个变元的系数为的不定方程为止,这样的不定方程是可以直接解出的。再依次反推上去,就可以得到原方程的通解。
例1:求方程的整数解
解
用辗转相除法求特解
由
逆推得:
两边乘以5得:
即:
所以方程的一般解是
如果不定方程无解,则在实施这种算法时,到某一步就会直接看出,下面来举一个例子。
例2:求的解
解
最后一式表明:不可能同时为整数,所以不定方程无解。
1.3 参数法
这种方法是解出系数绝对值较小的未知数,将其写成几个部分的和的形式,然后引进参数,于是便又得到一个新的不定方程,这时用观察法便可得出新方程的特解,然后再用代入法就能得出原方程的特解,进而求出通解.下面用例子说明此种方法的解题过程:
例3:求整数解
解 从系数绝对值较小的解之得:
于是得到新不定方程
这时用观察法便知,是新不定方程的特解。将代入得
所以原方程的通解为:
注:有时要求不定方程的正整数解,这时只需要均大于0,解不等式组便可求t的范围,然后t取整数就可以得出正整数解了。
参数法一般对于系数较大的不定方程适用,最后再介绍一种其他的方法。
1.4 同余式法
定义:当且仅当时,我们称与对模m同余,用记号可写为:
例如:
对于方程就是两个同余式:我们可选其中任一个并解出其变量,然后将结果代入原方程而求得其全部解,下面用例子说明其具体作法:
例4:求二元一次不定方程的一切整数解。
解 取模4得知原方程等价于同余式
上述同余式的解为
把代入原方程,得
由此得原方程的解为
以上介绍的四种方法便是解二元一次不定方程常用的几种方法,当然了,每种方法都既有利,又有弊,所以我们在解题时要选择一种合适的方法,这就需要我们多做题,总结经验了。
2 简单二次不定方程的解法探究
2.1 估计法
所谓估计法就是利用不等式估值,已达到缩小未知数的取值范围的目的,然后求得不定方程的解或证明不定方程无解。
例5:求的正整数解
解:原方程两边同除以得
若,则故即由上式可知,故得时,时。由原方程中的对称性,的原方程的正整数解为
2.2 数与式的分解
先把方程变形、分解,将含未知数的代数式化为积的形式,把常数写成标准分解式,然后利用整数的唯一分解定理将原方程转换成若干个方程组求解。这是解不定方程的一种十分有效的方法。
2.3 配方法
通过配方,使方程变形为一边是平方和的形式,另一边为常数,然后求解或判断方程无解的方法称为配方法。
例6:求的整数解
解 将原方程变形为,即
由上式得
当
于是有
解得
所以有:
解得
当,上式无整数解.
于是原方程的整数解是
2.4 分离整数法
把某些方程的一部分写成分式的形式,然后从分式中分离出整数的部分,再对真分式进行分析,就能得到方程的解.
例7:求方程的整数解
解 将原方程变形得
显然,故
又因为故即
又因为23为素数,所以时
与是原方程的解为
2.5 求根公式法
把不定方程看成是某个未知数的二次方程,然后利用二次方程的有关知识,有时能较快的解出方程或证明方程无解。
例8:求的整数解
解 当时,
当时,可将原方程看成是关于的二次方程,若它有整数解
设,则由韦达定理得
消去得即
由此得
解得
当时,;
当时,
所以原方程的整数解是。
综上所述关于二元一次不定方程有四种解法,分别是:观察法、辗转相除法、参数法、同余式法和关于二元二次不定方程有七种解法,分别为:估计法、数与式的分解、配方法、分离整数法、求根公式法、奇偶讨论法和同余法,本文主要分析前五种解法。
参考文献
[1] 潘承洞,潘成彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,2003.
[2] 周炜.数论,群论,有限域[M].北京:清华大学出版社,2013.