应用随机过程课程讲授探索

刘仁彬

摘 要：本文基于本科应用随机过程课程教学中授课教师讲什么、如何讲的问题，结合该课程的知识点和讲授实践，就本科应用随机过程的授课问题进行了深入的思考和探索。

关键词：应用随机过程 教学效果 讲授内容 讲授方式

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）02（a）-0147-02

《应用随机过程》是本科生学习《概率论与数理统计》课程后即将开设的一门后继课程。它的基本知识和方法，不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、电子信息及经济领域的应用与研究所需要。 因此，随机过程的理论、方法和应用越来越受到人们的重视，高等院校的学生、工程技术人员、金融工作者，更迫切地需要学习和掌握随机过程的知识。

但是本科学生习惯了确定性现象的研究思维和研究方法，对以研究不确定现象为对象的应用随机过程课程，感觉理论抽象、公式繁琐，例题联系广泛，理解、接受和应用起来难度很大。另一方面，大多数高校都把这门课程列为选修课，课时较短（我校统计专业是40学时，数学与应用数学专业是32学时，全校选修课是32学时）。面对这样的局面，如何在有限的教学时间内实现理想的教学效果，让学生理解抽象的概念、掌握定理结论并应用到实际问题中去分析问题和解决问题，克服学生的恐惧畏难情绪，使学生的被动学习转变为主动学习，最终实现教学中学生为主体老师为主导，这不仅要求学生勤奋努力，更对授课教师提出了较高的要求。讲什么？如何讲？这是授课教师绕不开的一个主题。 作者结合讲授应用随机过程多年的实践和体会，进行了如下的思考和探索。

1 对一些概念，讲清楚引入它们的原因或作用

在应用随机过程的教学中，经常出现的一种现象是，授课教师直接给出一些抽象的概念，随后理论上证明一些定理结论，再讲解一些例题。学生不理解引入这些概念有什么用，为什么需要这些概念，仅仅停留在被动学习的不利地位，完全是因为考试而学习。如果讲清楚概念引入的原因或作用，将有利于学生加深对概念的理解和掌握。比如，引入事件域σ代数）这一概念时，可以实数集的运算封闭性来谈事件域引入的原因。因为实数集具有良好的运算封闭性，即实数的加、减少、乘、除、乘方、开方仍是实数，使得其上建立的函数具有良好的性质。同样地，为了更好地研究事件概率，需要在事件构成的集合（集类）上定义一个具有良好性质的函数（概率），这就要求这个事件构成的集类对集合的运算具有良好的封闭性，即这个集类的集合经并、交、差、对立事件等运算后仍属于这个集合。这样的集类称为事件域，从而很自然地给出事件域概念，加深了学生的理解。由于事件域对事件运算具有良好的封闭性，使得其上建立的函数（概率）具有良好的性质，再讲授概率的几条性质就很自然了；又比如，为了更好的表示事件，特别是表示一些复杂事件，概率论在样本空间上定义一个函数，用它的函数值来表示事件，这个函数就是随机变量，从而引出随机变量的概念。再比如，对任意实数和样本空间，由于，，所以要求随机变量X取值表示的事件概率，只需对任意实数x，求事件的概率，而是x的函数，称为X的分布函数，这样就说明了引入分布函数的原因。

2 对相关联的随机过程，讲清楚它们的区别和联系

在应用随机过程课程中，有些随机过程之间是相关联的，讲清楚它们之间的区别和联系，可以让学生理解更透彻。比如，对严平稳过程和宽平稳过程来说，它们的均值函数和方差函数存在时均为常数，而自相关函数和协方差函数均为时间间隔的一元函数。但严平稳过程不一定是宽平稳过程，反之一样，也存在既不是严平稳又不是宽平稳的随机过程。具体例子如下：（1）对其密度函数为，则是严平稳过程，但不存在，所以不是宽平稳过程；（2）对，因为对有，即该随机过程的一维分布函数随时间平移改变，所以该过程不是严平稳过程。但由于均值函数，协方差函数只与时间差有关，

且二阶矩，故该过程为宽平稳过程。但对，因是t的函数，故该过程既不是严平稳过程又不是宽平稳过程。由上述关系可知，当严平稳过程也是二阶矩过程时必为宽平稳过程。另外，理论上可以证明，对正态过程（Gauss过程）而言，严平稳过程等价于宽平稳过程。

3 对具有多个定义的随机过程，明确它们各自的使用范围

对随机过程的多个等价定义，讲清楚它们各自的使用范围，对它们的具体应用是有益的。比如，泊松过程具有如下三个等价定义：

定義1称计数过程N（t）为参数为的泊松过程，如果（1）N（0）=0；（2）过程有独立增量；（3）。

定义2 计数过程为参数为的泊松过程，如果（1）N（0）=0；（2）过程具有平稳独立增量性；（3）对充分小的正数；（4）对充分小的正数。

定义3 称计数过程N（t）为参数为的泊松过程，如果某事件A发生的间隔时间序列独立均服从参数的指数分布。

一般，定义1和3常在理论计算和证明中使用，定义2通常在实际问题中用来判断某个随机过程是否可近似为泊松过程。

4 对实际工程中常用到的随机过程，尽量多结合一些实际案列，突出它们的应用价值

结合一些实际案例去理解抽象的随机过程，对理论上理解和实际中运用有很大的帮助。比如，一段时间内，到某商场购物的顾客数；经过公路某路口的汽车数；保险公司接到的索赔数；细胞中染色体的交换数；计数器上的粒子流和炮弹的弹着点等等，都可以近似看成泊松过程。又比如，一台机器上某种型号的零件发生故障后立即换上同型号的新零件，则一段时间内换下的零件近似为一个延迟更新过程；再比如，昆虫沿着一个三角形三条边在三个顶点间爬行，且以相同的概率爬向相邻的顶点，则某时刻昆虫所在的顶点位置是一个时齐链；还有上鞅、下鞅和鞅可以描述有利、不利和公平赌博等等例子。

5 对一些抽象难懂的随机过程，运用数学软件进行动态演示

有一些随机过程教材上只给出了抽象的定义，如用传统的讲授方法，学生不易理解和接受，也无法明白其应用价值。比如教材上理论推导了随机游动的极限过程就是布朗运动，用标准布朗运动定义了漂移布朗运动和布朗桥，比较抽象，学生也难于理解“漂移”和“桥”的特征，如果借助数学软件编程在多媒体上进行演示，则通过对时间的无限分割可以让学生看到用随机游动逼近布朗运动的这个过程，相比传统的讲授更容易让学生接受。通过对比让学生对漂移布朗运动中“漂移”有更加形象直观的认识。通过图像的实现可直观地讲解为什么这样的过程称为“桥”。对具体如何编程实现上述教学效果，可参考文献。

随机过程是一门高度抽象应用广泛的新学科，随着各领域新问题的出现和新的数学知识的引入，其发展是与时俱进的。在讲授随机过程课程时，既要通晓各领域相关的实际例子，又要深入浅出地讲清楚抽象的理论知识，讲什么？怎样讲？需要授课教师不断实践、探索和积累，只有这样，才能实现该课程的应用型人才培养目标。

参考文献

[1] 张波，张景肖.应用统计学系列教材，应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.

[2] 张波，商豪.应用随机过程.3版.北京：[M].中国人民大学出版社，2014.

[3] 程慧慧.关于《应用随机过程》教学的探讨[J].考试周刊，2015（85）：160-161.

[4] 陈守婷.MatLab软件编程在随机过程教学中的运用[J]. 数学理论与应用，2013（3）：117-124.