浅谈《初中数学习题的拓展和研究》
2018-08-06李俊
李俊
在课程改革不断深入的今天,作为一名数学教师,特别是初中数学老师,我们应该有这样一种认识:作业不应是单一枯燥的文本,而应是富有色彩,充满情趣的,多元的,花样的复合体。只有这样才足以能激发学生多方面的感官体验,在愉悦合理的情境中获取知识。
由于数学知识严密的逻辑性与高度的概括性,在例、习题中,还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里,也存在着可发掘的因素,而这些往往并不是学生们所能领会的。因此,就需要设计一些习题课,教师引导、点拨,学生进行观察、归纳、类比、抽象,学会解题,能够准确地判断、决策并简洁严谨地表达,给学生以施展才华、发展思维,锻炼能力的机会。因此解题是学生学好数学的必由之路,但不同的解题指导思想就会有不同的解题效果,养成对解题后仔细分析,进行思考的习惯,这样可以作为学生解题的一种指导思想。
我个人在实际教学过程中,对这些问题作过一些深思和一些尝试,其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面,我提出几个实例来分析其引导过程与方法,抛砖引玉,仅供参考。
一.对习题多进行变式训练
如八年级课本《等腰三角形》 中有一题
已知:如图,在△ABC中,∠1=∠2,DE∥BA。
求证:△ADE为等腰三角形。
题干中给出大量角相等条件,故而一般思路即通过证明∠2=∠1=∠ADE来证明△ADE为等腰三角形,学生解决这个问题会比较顺利,为此我做了如下变式:
变式1:已知:如图,在△ABC中,∠1=∠2,AE=DE。
求证: DE∥BA。
本题即将原题中可逆的证明过程逆向化,在加深学生对定理的理解的同时,培养其逆向思维能力。题目不难,理解即可。
变式2:已知:如图,在△ABC中,AE=DE,DE∥BA。
求证:∠1=∠2。
与上一变式相比较,本题变换了原题中另一条件以达到类似目的。
由此可见,一题多变的重点不在于增大难度,而是在于引导学生在相似而不全等的题干条件中辨析其相同点与不同点,而不至于一见到类似的题目就陷入思维定式,不知变通。
这个图形在三角形和四边形的学习中是常见的基本图形。学生对这个图形和结论都比较熟悉。在复习了基本图形后,学生从复杂图形中分离出基本图形就能解决这个问题了。或者从条件看有等腰三角形、有角平分线那么可能会出现平行线。
又如,北师大教材九年级上册120页11题:
如图,点CD在线段AB上,△PCD为等边三角形,△PAC∽△PDB,求∠APB的度数。
本题意在考察相似三角形的性质及三角形外角的性质,而以此为基础,可作以下拓展:
变式一:以上条件不变,过点D作DE∥PC,若BE:BP=1:3,DE=1,BD=2,求AC的长。
与原题相比,本题增加了大量与三角形相似有关的证明与性质应用。
变式二:如图,已知△PCD为等边三角形,∠APB=120?,求证:AC·PB=PD·AP。
与原题相比,本题难度加大,但仍是考察对同一知识点的理解程度及应用能力。
由此看来,一题多变的基本方针在于利用不同的题干条件,来考察相同的知识点,或辨析相近的知识点。
同时,对课本习题的简单变化也是各省市中招试题的重要出题思路。
如:北师大九年级上册90页习题:
如图,Rt△ABC中,AD⊥BC,垂足为D。
请指出图中所有相似三角形。
你能得出AD2=BD·DC吗?
变式:条件同上,求证:
△ABC∽△DBA
AB2=BD·BC
以上两题较为基础,且具引导性。
(2016。株洲)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90?,CD⊥AB。
写出图中所有相似三角形,并选择一对加以证明。
求证:AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,CD2=AD·BD。
利用(2)中结论证明勾股定理AC2+BC2=AB2。
而本题中,除基础部分外,第(3)问更具特色,考察学生的创新能力与思辨能力,很值得提倡。
由原题得出的结论,学生很容易通过类比推出变式一、二的答案,然而,如不仔细思考,反而会被惯性思维束缚,在做变式三时得出“三个三角形相似”的错误结论。
总的来说,一题多变的重点不在于增大难度,而在于利用不同而相似的题干條件来考察学生的观察、归纳、类比、辨析能力,并在教师的引导、点拨下避免惯性思维的束缚,养成对解题后仔细分析,进行思考的习惯。
二、对习题多进行一题多解
仍然在等腰三角形问题中,有这样一题: 如图,已知D、E在AC上,AB=AC,AD=AE,
求证:BD=CE。
我让同学们充分发挥,集思广益,特总结了一下几种方法:
思路与解法一:从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发,利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质,便得三种证法,即过点A作底边上的高,或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一",证得BH=CH。
思路与解法二:从证线段相等常用三角形全等这一角度出发,本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD,于是又得两种证法,而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明,所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。
思路与解法三:从等腰三角形的轴对称性这一角度出发,于是用叠合法可证。
以上是我在教学中总结的一点心得,通过习题可以使学生加深对基本概念的理解,从而使概念完整化、具体化,牢固掌握所学知识,而通过适当的变式引申、变式训练,一题多解,以期达到夯实双基、举一反三之效,培养了学生的分析能力和发散思维能力。