单值中智信息熵及其多属性决策方法

朱 轮，杨 波

1.常州大学 信息科学与工程学院，江苏 常州 213016

2.常州大学 怀德学院，江苏 靖江 214513

1 引言

数据客户所需要的并不仅仅只是一个存储他们大数据的硬盘，就目前这个阶段而言，数据产品服务商不仅提供到位的数据迁移和存储服务，而且能够在此基础之上提供咨询服务，因此数据产品服务商选择问题是一个重要的研究课题，其本质是一个多属性决策问题。多属性决策（MADM）问题是指针对不同备选方案对不同属性的属性值进行融合，然后对方案进行比较并遴选出最佳方案[1]。由于现实决策问题客观的复杂性以及决策者主观认知的局限性，决策者倾向于用模糊信息表达方案的评估值。文献[2]在1965年首次提出了模糊集的定义，但是随后学者们发现模糊集存在一定的不足，于是相继提出了区间模糊集[3]、直觉模糊集[4]、区间直觉模糊集[5]、犹豫模糊集[6]、正态模糊集[7]、Type-2 模糊集[8]等等概念。这其中，直觉模糊集得到了学者们的广泛关注和研究。但是其不能有效处理不确定和非一致的决策信息，因此，Smarandache[9]主要从哲学的角度首先引入了中智集的概念，然后Wang等[10]结合实际给出了单值中智集的定义。

信息熵是描述信息不确定程度的有力工具，Zadeh[11]最先引入了模糊熵的概念用以衡量决策信息的模糊性。Luca和Termini[12]将模糊熵进行了拓展，给出了更为正式模糊熵定义。基于直觉模糊基数，Szmidt和Kacprzyk[13]提出了直觉模糊熵测度的公理化条件。Ye[14]构建熵加权模型用以计算熵权重。文献[15]提出了区间直觉模糊连续加权熵。李香英[16]首次引入区间犹豫模糊熵的公理性定义。

综上国内外研究可知，熵是模糊集理论中的重要研究课题[17]。因此，Majumdar和Samanta[18]提出了单值中智熵的定义，然而在某些情况下存在一定的缺陷（详见例1）。因此，研究一种合理的单值中智熵概念，并构建简单有效的单值中智熵公式具有较好的实际意义。本文首先引入单值中智熵的公理化定义，同时基于三角函数设计一种信息熵测度公式，最后构建新的单值中智决策方法。

2 基础知识

本章主要介绍一些单值中智集的基本概念，并举例说明现有单值中智熵定义存在的不足。

定义1[10]令X为给定的集合，定义在集合X上的单值中智集 A={＜x,TA(x),IA(x),FA(x)＞|x∈X}由隶属函数TA(x)、不确定函数IA(x)以及非隶属函数FA(x)表示，其中TA(x),IA(x),FA(x)∈[0,1]，且TA(x)+IA(x)+FA(x)∈[0,3]。

为了下文讨论的方便，记α=＜Tα,Iα,Fα＞≜＜α1,α2,α3＞为一个单值中智数（Single-Valued Neutrosophic Value，SVNV）。令Ω~是X上所有的SVNV的集合。

定义2[10]令 α=＜α1,α2,α3＞为一个单值中智数，那么它的补为 αc=＜1-α1,1-α2,1-α3＞，即 αct，=1-αt,t=1,2,3。

对于一个单值中智数 α=＜α1,α2,α3＞，Majumdar和Samanta[18]给出了如下单值中智熵的公理化定义。

定义3[18]令 α=＜α1,α2,α3＞是一个单值中智数，则称函数ε:Ω~→[0,1]，如果其满足如下条件：

（1）当 α 是一个精确数时，有 ε(α)=0。

（2）当 ＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞，有 ε(α)=1。

（3）ε(α)=ε(αc)。

（4）当 α1+α3≤β1+β3且 |α2-αc2|≤|β2-βc2|时 ，有ε(α)≥ε(β)。

然而在某些情况下，定义3中的条件（4）不一定合理科学，这在例1中可以说明。

例1两个单值中智数分别为α=＜1,0,0＞和β=＜0.5,0,0.6＞，那么它们的补分别为αc=＜0,1,1＞和 βc=＜0.5,1,0.4＞。因为α1+α3=1+0=1＜1.1=0.5+0.6=β1+β3且|α2-αc2|=1=|β2-βc2|，那么根据定义3中的条件（4），可得ε(α)≥ε(β)，即 α 的数据信息比 β 更为不确定。然而，显而易见α=＜1,0,0＞是一个精确数，因此有 ε(α)=0，于是单值中智数α的数据信息应该比β更为精确。因此，从以上分析可知，在某些情况下定义3不一定合理可靠，需要进行改进提升。

3 单值中智信息熵

首先引入了新的单值中智信息熵的公理化定义，然后构建一种对单值中智数进行信息度量的测度公式，并证明其是单值中智熵。

定义4 令 α=＜α1,α2,α3＞是一个单值中智数，则称函数E:Ω~→[0,1]，如果其满足如下4个公理化条件：

（E1） E(α)=0⇔αt=0或αt=1,t=1,2,3。

（E2） E(α)=1⇔＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞。

（E3） E(α)=E(αc)。

（E4）如果β比α更为不确定，即对于∀t=1,2,3，当 βt-βct≤0 时，有 αt≤βt；或者当 βt-βct≥0时，有αt≥βt，那么 E(α)≤E(β)。

对于单值中智数 α=＜α1,α2,α3＞，运用三角函数构建如下信息测度公式：

定理1 令 α=＜α1,α2,α3＞是一个单值中智数，那么公式（1）中构建的函数E1(α)满足定义4中的4个公理化条件。

证明 首先构建如下函数：

那么函数 f(x)的导数为：

当 x∈[0,1]时，有 f′(x)≥0；当 x∈[1,2]时，有 f′(x)≤0。因此，当 x∈[0,1]时，函数 f(x)为单调递增函数；当x∈[1,2]时，函数 f(x)为单调递减函数，于是函数 f(x)在x=1处可以取得最大值。从而通过上述分析可知，0≤f(x)≤1，且有 fmin(x)=0当且仅当 x=0或 x=2，fmax(x)=1当且仅当x=1。接下来，将一一证明E1(α)满足定义4中的4个条件。

（E1）假设 E1(α)=0。因为 0≤αt≤1,t=1,2,3，所以αt-αct+1=αt-(1-αt)+1=2αt∈[0,2],t=1,2,3。因此，结合上述分析可知，E1(α)中的每一项均为非负数，于是E1(α)=0 当且仅当 E1(α)中的每一项都为 0，即对于t=1,2,3，有：

根据上述函数分析过程可得公式（4）成立当且仅当αt-+1=0或αt-+1=2,t=1,2,3，即αt=0或αt=1,t=1,2,3。

另一方面，当 αt=0或 αt=1,t=1,2,3时，可得αt-+1=0或 αt-+1=2,t=1,2,3，代入公式（1）易知 E(α)=0 。

（E2）当＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞时，有：

αt-+1=1,t=1,2,3

因此代入公式（1）可得 E1(α)=1。

假设 E1(α)=1。由于 αt-+1∈[0,2],t=1,2,3，所以 0≤E1(α)≤1，那么当 E1(α)=1时，意味着其中的每一项的大小都为1，即对于t=1,2,3，有：

结合函数分析可得，αt-+1=1,t=1,2,3，从而有＜α1,α2,α3＞=＜0.5,0.5,0.5＞。

（E4）若对于∀t=1,2,3，当βt-≤0时，有αt≤βt，那么 βt≤=1-βt,t=1,2,3，于是得到：

而 αt-+1=2αt,βt-+1=2βt，所以：

又因为函数 f(x)在x∈[0,1]时为单调递增函数，因此有：

所以 E1(α)≤E1(β)。

类似的，当 βt-≥0 时，有 αt≥βt，可以证明E(α)≤E(β)。综上，结论成立。

根据定理1，有以下定义：

定义5 令 α=＜α1,α2,α3＞是一个单值中智数，则称公式（1）中构建的函数E1(α)为单值中智熵。

4 单值中智多属性决策方法

现考虑单值中智信息多属性决策问题。假设X={X1,X2,…, }

Xm为一个备选方案集，C={C1,C2,…,Cn}为一个属性指标集合。令w=(w1,w2,…,wn)T是属性集合对

接下来，运用本文提出的单值中智熵公式，建立单值中智多属性决策方法。

步骤1标准化决策矩阵。

若Cj(j=1,2,…,n)均为效益型属性，则决策矩阵不变；否则，对D=(αij)m×n进行如下标准化处理，得到标准的单值中智决策矩阵 D~=(α~ij)m×n：步骤2计算属性权重。

为了尽可能地使决策更为合理准确，决策者一般希望决策过程尽可能地依赖于确定性信息。因此，各属性的权重设定应该尽可能减少不确定信息对决策结果的影响。于是，基于如上思想可建立如下最优化模型：

根据Lagrange乘数法计算上述最优化模型Model I，可得属性权重为：步骤3计算备选方案与正负理想点间的距离。首先设计如下正负理想点：正理想点X+={α…,}和负理想点 X-={α,…,，其中=＜1,0,0＞,=＜0,1,1＞,j=1,2,…,n。然后计算备选方案 Xi分别与正理想点X+和负理想点X-的距离如下：

步骤4计算备选方案Xi的贴近度。

步骤5备选方案优劣排序。

根据贴近度Ti(i=1,2,…,m)的大小关系对备选方案进行优劣排序，并选择综合性能最高的方案。

5 实例分析

考虑评估第三方数据产品服务商的选择问题。现有5个备选数据产品服务商为{X1,X2,X3,X4,X5}，在优选数据产品服务商时，考虑如下4个评估指标分别为：产品质量(C1)、处理能力(C2)、购买成本(C3)、售后服务(C4)，其中C3为成本型指标，其他指标为效益型指标，并且4个评估指标的属性权重信息完全未知。现专家将数据产品服务商在各个属性下进行评估，并将评估值运用单值中智数αij=＜＞进行表达，从而构建单值中智决策矩阵 D=(αij)5×4。

步骤1由于C3为成本型指标，因此按照转化公式（9）计算得到标准单值中智决策矩阵 D~=(α~ij)5×4如下：

步骤2运用公式（10）～（12）计算属性权重为：

w1=0.192 3，w2=0.320 8

w3=0.126 0，w4=0.360 9

步骤3根据公式（13）和（14）求得所有备选数据产品服务商与正负理想点间的距离如下：

步骤4通过公式（15），计算贴近度：

T1=0.410 8,T2=0.507 4,T3=0.649 7,

T4=0.566 5,T5=0.468 3

步骤5 因为 T3＞T4＞T2＞T5＞T1，所以备选数据产品服务商排序结果为X3≻X4≻X2≻X5≻X1。所以综合表现最好数据产品服务商的是X3。

为了体现本文方法的优良性能，与文献[19]中的方法进行对比分析。运用文献[19]中方法处理上述数据产品服务商选择问题的大致过程如下：

首先基于标准化的单值中智决策矩阵D~=(α~ij)5×4，利用文献[19]中的相似度公式：

计算各个数据产品服务商与理想点间的相似度：

由于 T(X3,X+)＞T(X4,X+)＞T(X1,X+)＞T(X5,X+)＞T(X2,X+)，所以5个备选数据产品服务商排序结果为X3≻X4≻X1≻X5≻X2，且综合表现最好数据产品服务商的是X3。

通过上面的决策结果可知，虽然运用本文方法和文献[19]中的方法得到的最优结果相同，但是5个备选数据产品服务商排序存在一定的差异。事实上，根据原始的标准单值中智决策矩阵 D~=(α~ij)5×4可知，有 α~21＜α~11,α~22＞α~12, α~23＞α~13, α~24＞α~14且 α~21＜α~51, α~22＞α~52, α~23＞α~53,α~24＞α~54，这表明数据产品服务商X2的综合性能要优于数据产品服务商X1和X5，这与本文方法得到的排序结果相一致，因此本文方法更为合理可靠。

6 结束语

本文针对现有单值中智熵定义存在一定的缺陷，提出了单值中智熵的公理性定义，构建了一个单值中智信息熵计算公式，并将其应用于单值中智多属性决策模型的建立过程中，最后通过实例验证说明了本文提出方法的可行性和有效性。该方法不仅为单值中智多属性决策问题提供了一种新的解决思路，同时可将方法应用在模式识别、医疗诊断等相关决策问题中。