高中数学导数公式的应用研究

张红宇

【摘要】在高中数学的学习中，高中数学导数公式的应用在学生的学习中十分重要。导数公式的应用对高中数学中对于函数极值的求解，及函数单调性的判断具有一定的价值。本文对导数及导数公式进行了一个简单的概述，对高中数学导数公式应用的价值进行了简单的研究。希望能够对高中数学的教学有所帮助。

【关键词】高中数学 导数公式 应用研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）06-0298-01

前言

近年来，随着新课标的不断改革，导数公式的应用在高中数学的教学部分占据着越来越大的比重，人们对新课改数学题目的研究逐步加强。在高中的学习中，数学、物理、化学的学习在某一方面有着相互融合相互渗透的作用。导数公式的应用不仅在高中数学的教学中有着重要的作用，对于物理、化学也有一定的借鉴作用。

一、导数及导数公式

（一）导数

导数是微积分中的重要概念，是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。不是所有的函数都有导数，若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。对于可导的函数f（x），xf'（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）[1]。

（二）常用的导数公式

导数公式的使用，需要学生一定的适应时间和过程，需要学生从巩固导数定义出发，进行应用。常见的导数公式如下：

①C'=0（C为常数函数）

②（x^n）'=nx^（n-1）（n∈Q*）；熟记1/X的导数

③（sinx）'=cosx

④（cosx）'=- sinx

⑤（e^x）'=e^x

⑥（a^x）'=（a^x）lna （ln为自然对数）

⑦（Inx）'=1/x（ln为自然对数）

⑧（logax）'=x^（-1）/lna（a>0且a不等于1）

⑨（x^1/2）'=[2（x^1/2）]^（-1）

⑩（1/x）'=-x^（-2）

（u±v）'=u'±v'

（uv）'=u'v+uv'

（u/v）'=（u'v-uv'）/ v^2

二、高中数学导数公式应用的价值

随着新课标的改革，高中数学导数公式的应用在高考中所占的比重越来越大，高中数学导数公式的应用已经成为学生们在数学、物理、化学的学习过程中十分重要的学习工具。导数公式的应用贯穿于整个高中理科的学习，例如物理中对物体的瞬时速度和加1速度的表示[2]。导数公式的应用实际上就是对可导函数的推导过程，对导数公式的应用不仅可以体现在平常的习题联系和考试上的解题方法，还可以体现在我们实际生活中的方方面面，例如在我们生活中碰到的利润最大化的问题和求最高效率的问题等等。这些都可以利用函数的思想和高中数学的导数公式对其进行求解。

1.教学中我们可以引导学生利用导数判别函数的单调性：函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷。

2.还可以利用导数判别函数的单调性：函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷。

3.也可以用导数证明不等式：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式。

4.此外导数在求曲线的切线中也有广泛的应用：导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率。利用这个我们可以求出曲线的切线方程。

例如已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点P（2，-1）的曲线l的切线方程。

解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，

则当x=2时，y=a，y′=2.

①当a=-1时，点P（2，-1）在曲线l上，故过点P的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，

②当a≠-1时，点P不在l上，设曲线l过点P的切线的切点是（x0，y0），

則切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点P（2，-1）在此切线方程上，

所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.

又y0=x20-2x0+a，

则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，

Δ=16-4（3-a）=4（a+1），

当a<-1时，Δ<0，切线不存在。

5.另外我们还可以引导学生利用导数解决数列问题：数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题。

高中数学新教材中增加的导数初步知识，为高中数学注入了新的活力，有利于沟通初高等数学的联系，因此导数的应用将成为新教材高考试题的热点，所以在教学中，穿插与渗透导数的应用，培养学生应用导数的意识和能力应引起人们的高度重视，特别是复习以函数为背景或解决与函数有关的方程，不等式及应用问题时，渗透导数的应用，拓宽解题思路，在应用中增强学生用数学的意识，开拓思维，培养创新精神。

所以，在学习高中数学导数公式的时候，学生不仅要掌握导数公式的概念和应用的方法，还要学会把数学导数与其它知识相结合，和我们的现实生活相结合，这样才能够将高中数学导数公式进行充分合理的应用，在遇到问题时找到合适的办法[3]。

三、结论

在高中数学的学习中，高中数学导数公式的应用在学生的学习中十分重要。导数公式的应用对高中数学中对于函数极值的求解，及函数单调性的判断具有一定的价值。高中数学导数公式的有效应用能够提高学生们解题的效率，增加学生们对于学习的自信心，而且还能够促进学生们数学、物理、化学的学习，为学生们今后的学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].中学数学，2014，（3）：76-77.

[2]郝利军.关于高中数学导数公式的应用研究[J].文理导航（中旬），2014，（8）：19-19.

[3]胡海燕.导数公式在高中数学中的应用[J].理科考试研究（高中版），2014，（3）：37.