常见递推数列在高考中的应用

陈培

摘 要：递推数列是一类广泛而复杂的数列问题，具有逻辑推理性强，求解方法开放灵活，是近几年高考考查的主要内容之一，并且占有一定的分数比例。

本文就高考中经常出现的一些递推数列问题进行探讨研究。

关键词：高中数学；数列；递推关系；通项公式

虽然由数列递推公式求数列的通项式的题目，题型多样，解答方法灵活多变，但我们一般在求解递推数列问题的时候，通常采用一下两种策略：

1.探索化归：主要是运用转化思想将其化归为等差数列或等比数列这两类基

本数列的问题。

2.列式建模：如果所涉及的问题不能转化为特殊数列，一般通过细心观察、

寻找规律，对递推关系式的拼、拆、凑等的变形，从而构建出新的数列，从

而使问题得以解决。

通过整理归纳，常见的几种类型递推式可归纳如下：

1.形如： = +f（n）

处理方法：迭加法或迭代法，即取 n =1，2，3，…，n - 1.得 n - 1 个式子：

= +f（1）

= +f（2）

… … …

= +f（n-2）

= +f（n-1）

将以上式子迭加得到： = +f（1）+f（2）+ +f（n-1）

例1：已知数列{ }中， =1， - =2（n-1），求通项 .

解：由 - =2（n-1）知，

- =2

- =4

… … …

- =2n-4

- =2n-2

将以上式子迭加得到： = +[2+4+ +（2n-2）]=1+n（n-1）= -n+1

引申： =p +f（n）型该如何求解？（若p=1，即为类型1的问题），下面研究一下p 1的情况。

思考：若数列{ }满足 =1， = +2n-1（n ），求通项 .

解：设 = +An+B，

则 = -An-B， = -A（n-1）-B，

所以 -An-B= = [ - A（n-1）-B]+2n-1，

即 = +（ A+2）n+（ A+ B-1）

令 A+2=0， A+ B-1=0，得A=-4，B=6，

所以{ }是以3为首项， 为公比的等比数列。

所以 =3 .

故3 = -4n+6

=3 +4n-6.

2.形如： = f（n）

处理方法：迭乘法或迭代法，即取 n =1，2，3，…，n - 1.得 n - 1 个式

= f（n-1）= f（n-2） f（n-1）= f（n-3） f（n-2） f（n-1）= = f（1） f（2） f（n-2） f（n-1）

例2：已知数列{ }中， =1， = ，求通项 .

解：由 = 知：

= =（ ） =（ ） = = = =

3.形如： = +p

处理方法：换元法。即等式两边同时除以 ，得到 - =p

则{ }是以 为首项，p为公差的等差数列。

例3：已知数列{ }中， =1，3 + =3 ，求通项 .

解：等式两边同时除以 得：3 +1=3

即 - =

所以{ }是以 =1为首项， 为公差的等差数列。

=1+ （n-1）= n+

故 =

4.形如： =p +q（其中p，q为常数，p 1）

处理方法：换元法（辅助数列法）

方法一：令 + =p（ + ），展开整理，再对比 =p +q知： =

即 + =p（ + ）

所以{ + }是以 + 为首项，p为公比的等比数列。

方法二：由 =p +q（1）

=p +q（2）

（1）-（2）得： - =p（ - ）

则{ - }是等比数列，，求出 - ，此时就变为类型1形如： = +f（n）

的递推公式，再利用迭代法即可求出。

例4：已知数列{ }中， =1， =3 +2，求通项 .

解：设 + =3（ + ），得设 =3 +2

又 =3 +2

=1

+1=3（ +1）

{ +1}是以2为首项，3为公比的等比数列

+1=2

=2 -1

5.形如： =p + （其中p，q为常数，p 0）

处理方法：换元转化法

即将上式转化为： = +

令 = ，则 = + ，以下就转化为类型4的问题了。

例5：已知数列{ }中， =1， =3 + ，求通项 .

解：把 =3 + 两边同时除以 ，

= +

令 = ，则 = + （下面的做法如同类型4里的例题）

设 + = （ + ），则 = +

所以， =1，即 +1= （ +1）

{ +1}是以 +1= +1= 为首项， 为公比的等比数列。

+1= ， = -1

= [ -1]= -

6.形如： =p +q （pq 0）

处理方法：换元转化法

令 + =k（ + ），展开得 =（k- ） +k

对比 =p +q 知，k- =p，k =q，求出， 的值，

则{ + }是以k为公比的等比数列，从而可以求出 + 的表达式，下面的问题就转化为以上其他类型的问题了。

例6：已知数列{ }中， =1， =2， = + ，求通项 .

解：令 + =k（ + ），整理比較得，k=- ， =-1.

所以 - =- （ - ），故{ - }是以 - =1为首项，- 为公比的等比数列。

所以， - =

下面就转化为类型1的问题了，

易得， = +1+（- ）+ + + + =1+ .

思考与练习：

1.已知数列{ }中， =2， ，求通项 .（ = ）

2.已知数列{ }中， =2， ，求通项 .（ = ）

3.在数列{ }中， ， =2，求通项 .

解：由 可得出： ，即 ，

令 = ，则 - = ，（转化为类型1的题目）

- = ， - = ， - = ， ， = ，

将以上（n-1）个式子相加，得 - = + + + + ，

= + + + + + =1-

所以 = .

通过以上的几种类型的求解，我们可以看出此类问题有广度和创新度，可以提高学生分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的数学思维能力；解决这类题目方法是由已知递推式向特殊数列（比如等差、等比数列）转化，先求出转化后的特殊数列的通项公式，再求出原数列的通项公式。

参考文献

[1] 熊卫 递推数列求通项公式 科学教研杂志 2009年11月

[2] 栗继鹏 由数列递推式求数列通项式的方法归类解析 科学时代 2009年第一期

[3] 马文渊 如何由数列的递推式求通项公式 学周刊 学术研究 2013年第10期

[4] 王建莉 关于递推数列的研究 阴山学刊 2015年3月

（作者单位：安徽省淮南市第三中学）