例谈巧用数形结合法解函数不等式

陈雪梅

摘 要 函数不等式问题既作为高中数学的一项重要内容，又是历年来高考重点考查的对象。本文主要针对具备何种特征何种类型的不等式适合用数形结合的方法去求解进行探讨，并强调我们不要盲目地为了使用数形结合的方法而数形结合，使问题更加复杂化。

关键词 数形结合法 函数不等式 不等式特征

中图分类号：G632 文献标识码：A

1解题研究

随着教育的不断改革，国家越来越注重思维与创新的能力。不等式作为历年考查的重点对象，尤其是函数不等式的问题，常用的有以下几种方法：（1）函数性质法；（2）分离参数法；（3）主参换位法；（4）数形结合法。对于一部分具有明显几何意义的不等式，根据结构，采用数形结合的方法进行求解，事半功倍。笔者就以下几种题型为例，给出以下解题分析。

1.1高次不等式求解集的类型

对于高次不等式（分式不等式）求解集的问题，将其整理为标准形式后，利用“数轴标根法”，清晰直观，但要注意特殊点的取舍。

例1：不等式的解集为 .

解析：如上圖所示，在数轴上标出相应的根，原不等式等价于，且易知答案为或。对于这种易于在数轴上标出根求解集的问题，用数形结合的方法快捷明了。

1.2可将不等式转换为相关几何轨迹方程的类型

对于一些构造较复杂直接求解比较繁琐的不等式，将其不等式进行转化，定‘性定“量”的做出图形，有效简化解题过程。

例2：解不等式.

解析：

令，则可将其化为曲线

的形式，即不等式的解对应于曲线在直线上方的部分，如图所示：

由求得，原不等式的解集为.

1.3含参不等式类型题的求解

对于含参数的不等式，由于参数的存在，“不确定性”与“复杂性”并存。如果仅从“数”的角度考虑分析更复杂，然而用数形结合的方法，则思路不等式转化为（或），然后通过分析图像的上下位置关系来求解。

例3：若时，不等式恒成立，则的取值范围为 .

解：令，

，

若，两函数图象如图所示，即当时，要使，只需

，即，

∴当时，不等式恒成立。

若时，两函数图象如下图所示，显然当时，不等不恒成立。因此，的取值范围为.

2采用数形结合法解题要注意的问题

数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而使问题简单明了化难为易，快速的审清题意解出问题。

笔者认为，数形结合法虽好，但需要注意一些问题，比如，作图要精确，避免了草作图导出错误结论。此外，在求解不等式时，转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小；分情况讨论时，要注意图形的存在合理性，不可“无中生有”；利用数形结合解题时，尤其在证明某个问题时，要避免语言赘余。因此，如果数形结合法使用不当时，使得本就不复杂的问题繁琐化，便背离了数形结合的实质意义。

3教学启示

数形结合法在解题的方法中起到举足轻重的作用，是非常实用而又重要的方法，其应用性强。使抽象思维与形象思维结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到优化解决问题途径的目的。对于函数不等式，在选择题和填空题中有许多题目可快速用数形结合的方法进行求解，而对于大题当中的不等式问题，运用数形结合的方法可更加清晰的分析题意理清其解题思路。

运用数形结合的思想方法，再根据本文中所提到的有关函数不等式类型的几点特征，要做到：由“数”联想到“形”。此外，要注重把握数形结合的实质，不要单纯为了使用数形结合的方法而强行构造图形使问题复杂化。

然而，正因为它的直观、形象、简洁而渐渐地使学生认为它是“万能”的，常常会诱入歧途，模棱两可，甚至会有以点代面的现象。因此我们在用数形结合法时，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演译。

参考文献

[1] 江远忠.用数形结合的方法解不等式[J].山西教育：高考理科，2005（11）：8-9.

[2] 朱智昌.含参问题的图像解法[J].数学中的思想方法，2006（07）：25.