径向基函数插值逼近问题的研究

齐静

摘要：针对径向基函数插值逼近的问题， 当算法连续多次迭代都没有取得进展的时候，提出了一种新的重启动策略来改进径向基函数的优化效果， 并通过数值算例说明了改进后的策略在迭代次数上的优越性。

关键词：径向基函数； 高价黑箱函数； 插值逼近； 全局优化

中图分类号：O241.6 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）11-0265-02

1 前言

工农业生产和实际科研领域中，经常会遇到高价黑箱函数的插值逼近问题， 针对这个问题，近年来， 国内外的一些学者开展了径向基函数插值逼近的研究， 取得了不错的效果。

2 径向基函数模型

本文采用文献[1]中的径向基函数模型.

[Sn（x）=i=1nλiφ（x-xi）+bTx+a.]给定[n]个不同的点[x1，…，xn∈Rd]， 函数值[fx1，…，fxn]也是已知的， 取定径向函数[φ]， 寻找具有如下形式的函数：

其中：[f]是一个确定性的连续函数， [x-xi]表示[x]与中心点[xi]之间的欧氏距离， [λi∈ R，]

[i=1，…，n]， [φ]就是径向基函数，选定一个径向基函数[φ]之后， 定义矩阵：

[Φij：=φ（xi-xj）， i，j=1，…，n.]

3 径向基函数中的重启动策略

径向基函数虽然具有良好的逼近效果， 然而人们在使用径向函数在进行全局搜索的时候， 算法有可能会陷入某个局部极小点附近进行较长时间的局部搜索， 然而算法却连续多次迭代都很难取得下一步的进展， 为了解决这个问题， 本文提出了一种新的重启动策略， 当算法连续多次迭代都没有进展的时候， 可以使用SLHD方法重新来选取新的初始点， 或改变径向基函数中参数c的选取， 或换用新的径向基函数。

例 考虑下面的问题：

[f（x）=（220x+244x2-100x3+19x4-1.x5+0.06x6-10）/12，x ? [0， 1.3].] （[f（x）]在此区间上的最优值为（0.7098， -6.2356））.

使用SLHD方法选取的初始点为：（0.2353， -3.7289）， （1.1439， -6.1663）， （0.1394， -2.7585）， （1.0273，-6.4016）， （0.0228，-1.3176）， （0.9314，-6.4016）， 径向基函数为：[Φ（r）=r2log（r）].

算法在局部极小点[x=0.0697]附近进行了较长时间的局部搜索， 但是连续多次迭代都沒有取得实质性的进展， 所得数据如表1所示：

从上表可以看到， 算法在局部极小点[x=0.0697]附近进行了较长时间的局部搜索， 然而算法连续16-6=10次迭代都没有更进一步的进展， 此时可以使用本文提出的换用新的初始点， 并换用新的径向基函数的方法进行迭代搜索。

使用SLHD方法选取新的初始点为：（0.4353， -5.2036）， （0.8439， -6.3912）， （0.5394， -5.7138）， （0.5273，-5.6626）， （0.3228，-4.4601）， （0.7314，-6.2668）， 径向基函数换为：[φ（r）=e-0.01r2].

表2是使用本文提出的方法所得的数据， 从表中可以看到使用本文所提出的方法可以使算法及时跳出局部极小点， 加快收敛速度， 从而尽快收敛到全局最优处。

分析表2的数据可知， 当算法连续多次迭代都没有取得明显进展的时候， 使用本文提出的重启动策略， 可以减少算法达到最优值所需的迭代次数， 加快收敛到全局最优点的速度。

4 小结

径向基函数插值逼近具有计算简单、工作量小[2]等特点， 因此广泛应用于黑箱函数插值逼近问题， 在插值逼近的过程中， 算法可能会陷入死循环的境界， 针对这个问题， 使用本文提出的重启动策略可以加快收敛的速度。

参考文献：

[1] K.Holmstr?m. An adaptive radial basis algorithm（ARBF） for expensive black-box global optimization[J]. Journal of Global Optimization，2008（41）：447-464.

[2] G.Regis and C.A.Shoemaker. Constrained Global Optimization of Expensive Black Box Function Using Radial Basis Function[J]. Journal of Global Optimization，2005（31）：153-171.