平台导引头隔离度对制导系统Lyapunov稳定性的影响

陈开伟, 杜 肖, 李 佳, 夏群利

(1. 北京理工大学宇航学院, 北京 100081; 2. 中国运载火箭技术研究院, 北京 100076;

3. 北京电子工程总体研究所, 北京 100854)

0 引 言

平台导引头的稳定平台可使导引头很好地隔离弹体扰动,但是导引头内部导线拉扯及各部件摩擦等因素会使这种隔离并不完全,从而导致弹体扰动耦合进导引头,引起隔离度问题。导引头隔离度会在导弹制导控制系统中形成一个寄生回路,称为隔离度寄生回路,该回路会对制导系统的稳定性能产生较大的影响[1-2]。

目前国内外学者关于导引头寄生回路和制导系统稳定性的研究,主要基于“冻结时间”假设,将制导系统化为时不变系统并进行稳定性分析,而很少基于时变系统理论研究隔离度寄生回路对制导稳定性的影响。文献[3-4]假设制导系统是慢时变系统,对天线罩误差引起的隔离度寄生回路问题进行了研究。文献[5-11]分别针对平台导引头、半捷联导引头、相控阵导引头隔离度寄生回路特性及其对制导系统的影响进行了研究,并均采用Routh判据近似判定系统的稳定性。但是当弹目距离较短或制导动力学较快时,慢时变假设不再成立,应用Routh判据分析稳定性会带来较大误差。文献[12]提出了比例导引有限时间稳定的思想,文献[13]利用该思想对时变制导系统稳定性进行了分析,但遗憾的是在稳定边界求解过程中依然使用了基于无限时间的理论,而实际的制导系统均定义在有限时间区间上。文献[14]研究了基于无源性理论分析非线性时变系统稳定性的方法,文献[15]利用无源性方法分析了全捷联导引头隔离度对制导系统稳定性的影响,为本文的研究提供了思路。

由于导引头稳定回路带宽很宽,工程上认为导引头输出的视线角速度既可以从稳定回路指令处提取也可以从角速度陀螺处提取[16],同时引起平台导引头隔离度(gimbaled seeker disturbance rejection rate,GSDRR)问题具有不同的机理,本文首先基于平台导引头对不同制导信号提取点及不同干扰力矩引起的导引头隔离度传递函数(disturbance rejection rate transfer function, DRRTF)进行建模,并构建了包含隔离度寄生回路的比例导引制导系统模型。给出了分析时变制导系统Lyapunov稳定性的无源性方法,研究了比例导引制导系统一致渐进稳定性的判定条件,并通过仿真分析了不同DRRTF对制导系统稳定性的影响。最后基于制导系统稳定条件,给出了一种隔离度幅值指标计算方法。本文的研究结果可为制导控制系统的总体设计、GSDRR指标约束提供理论依据。

1 问题建模

1.1 隔离度传递函数模型

图1 平台导引头控制回路模型Fig.1 Control loop model of gimbaled seeker

由图1可知,GSCL模型主要包括稳定回路、跟踪回路、干扰力矩回路、反电势回路。干扰力矩回路是由导引头转动过程中各种导线的拉扯及转动连接处的动静摩擦等引起的,在图1中将各种干扰力矩等效为传递函数GD(s)。干扰力矩的产生将会使弹体的运动耦合进导引头运动中,降低导引头的控制精度,是引起GSDRR问题的主要因素,主要包括弹簧力矩和阻尼力矩两部分。真实的平台导引头干扰力矩为非线性模型,通常可用简化的模型分析干扰力矩对导引头隔离度及输出精度的影响,其形式为

(1)

式中,Kn为弹簧力矩系数;Kω为阻尼力矩系数。

定义DRRTF传递函数为

(2)

由于在导引头常用工作频率范围内(小于5 Hz),探测器延时和校正网路对DRRTF特性的影响是在小范围内波动的,并不能从本质上改变其幅相基本特性,另外一般情况下反电动势非常小,对导引头控制精度影响不大。因此为了更直观地体现DRRTF对制导控制系统的影响,可对GSCL模型进行等效简化,忽略探测器延时、校正网络、反电动势、高频动力学及小量的影响,取G1(s)=1、G2(s)=1、H(s)=1、R≈1、L≈0、稳定回路等效增益K2=G2k2KT/J、跟踪回路等效增益K1=G1k1,可得GSCL简化模型如图2所示。

图2 控制回路简化模型Fig.2 Simplified model of control loop

由图2可得,当干扰力矩为弹簧力矩时(即GD(s)=Kn/s),从S点和C点提取制导信号时的DRRTF分别为

(3)

(4)

当干扰力矩为阻尼力矩时(即GD(s)=Kω),从S点和C点提取制导信号时的DRRTF分别为

(5)

(6)

当忽略延时环节及校正网络时有K1K2≫Kn,忽略高频动力学,令导引头等效时间常数为Ts,则导引头ITR可根据导引头控制系统特性进一步简化,如表1所示。

表1 一阶ITR

由表1可知,不同的干扰力矩和视线角速度提取点,ITR不同。从C点提取制导信号时,传递函数稳态增益前均有一个负号,在后续分析隔离度寄生回路时,ITR位于反馈通道,故而可形成负反馈,而从S点提取制导信号时可形成隔离度寄生回路的正反馈。由上述分析可知,导引头隔离度并不能简单认为是某个频率点处的恒定值,隔离度的频率特性与导引头控制系统的频率特性密切相关,同时不同视线角速度提取点会引起寄生回路正负反馈情况不同,因此分析隔离度寄生回路对制导系统的影响时必须考虑导引头ITR特性。

1.2 制导系统模型

图3给出了包含隔离度寄生回路的比例导引制导系统模型。取制导滤波器为一阶模型,驾驶仪为三阶模型,导引头动力学为一阶模型,其时间常数为Ts=Tg/5。

图3 制导系统模型Fig.3 Guidance system model

图3中,at为目标加速度;am为弹体加速度;TF-t为剩余飞行时间;Tg为末制导时间常数;Tα为攻角时间常数;Vm为导弹飞行速度;Vc为弹目相对速度;N为有效导航比。

图4 无量纲制导系统模型Fig.4 Normalized guidance system model

2 制导系统的Lyapunov稳定性

2.1 制导系统的一致渐进稳定性

如图4所示的制导系统为线性时变系统,本文采用Lyapunov理论分析系统平衡点的稳定性。研究Lyapunov稳定性时通常考虑输入为零的情况,令图4中参考输入at=0,设制导系统为

(7)

如果

f(t,0)=0,∀t≥0

(8)

则原点是t=0时式(7)的平衡点。定义系统的平衡点x=0是:

(1) 一致稳定的,如果对于每个ε>0,存在δ=δ(ε,t0)>0与t0无关,且满足

‖x(t0)‖<δ⟹‖x(t)‖<ε,∀t≥t0≥0

(9)

(2) 一致渐进稳定的,如果它是一致稳定的,且存在独立于t0的正常数c,满足对于所有‖x(t0)‖0,存在T=T(η)>0,满足

‖x(t)‖<η,∀t≥t0+T(η),∀‖x(t0)‖

(10)

因此,如果制导系统在某个初始时刻t0是一致渐进稳定的,则系统在定义区间内所有t0时刻均具有Lyapunov稳定性,并且系统的收敛性不会随着t0的增大而变差。从工程观点而言,Lyapunov意义下的稳定即为工程意义下的临界不稳定。

2.2 以无源性方法表示的Lyapunov稳定性

分析Lyapunov稳定性的无源性方法一般不用建立状态空间模型,也不用构造Lyapunov函数,便于工程应用,是分析时变系统稳定性的重要工具[17]。无源性方法涉及系统的无源性、正实性等性质,以下首先给出了系统无源性和正实性的判定方法。

(1) 时变无记忆函数的无源性

当系统的输出与状态变量无关时,可将系统表示为y=h(t,u),称为无记忆函数。若h为标量函数,且对所有(t,u)满足

αu2≤uh(t,u)≤βu2

(11)

时,称h(t,u)属于扇形[α,β],式中，α与β是实数,且β≥α。当h(t,u)属于扇形[0,∞],即uh(t,u)≥0时,称系统y=h(t,u)是无源的。

(2) 单入单出线性系统的严格正实性

单入单出线性系统G(s)是严格正实的,当且仅当同时满足下列3个条件:

①G(∞)>0;

②对G(s)所有的极点,都有Re[s]<0;

③对虚轴上的点s=jω,有正实部,即Re[G(jω)]>0,∀ω>0。

条件②要求G(s)极点都在左半开平面,条件③要求G(jω)的Nyquist曲线在右半平面。特别地,如果线性时不变系统传递函数G(s)是严格正实的,则G(s)状态空间最小实现是严格无源性的。

定理1给出了利用无源性判定Lyapunov稳定性的方法。

定理1在图5所示的系统中,若时不变动力学系统G(s)是严格无源的,时变无记忆函数h(t,u)是无源的,经反馈互联得到的闭环系统的原点是一致渐进稳定的。

图5 反馈互联系统Fig.5 Interconnected system with feedback form

图6 稳定性等价的反馈系统框图Fig.6 Equivalent block diagrams of feedback system

3 制导系统稳定性分析

3.1 制导系统稳定性判定

将图4所示制导系统变换为图5所示的时不变系统与时变无记忆函数构成的反馈互联系统,其中线性时不变系统传递函数为

(12)

时变无记忆函数为

(13)

(14)

ansn+an-1sn-1+…+a2s2+a1s1+a0=0

(15)

利用Routh稳定判据可获得特征根都在左半开平面的约束不等式。

3.2 仿真分析

图7表明,同一条件下不同隔离度模型对应的系统临界稳定时间不同,且不论是弹簧力矩还是阻尼力矩作用下,从C点提取制导信号时系统临界稳定时间均大于S点。由隔离度模型可知,从C点提取制导信号时,隔离度寄生回路为负反馈,从S点提取制导信号时,隔离度寄生回路为正反馈,因此在该条件下从S点提取制导信号时制导系统满足Lyapunov一致渐进稳定性对末导时间的约束较C点严格,隔离度寄生回路正反馈比负反馈对制导系统稳定性的影响更大。

图7 奈奎斯特曲线Fig.7 Nyquist curves

图8 不同末导时间对应的稳定边界Fig.8 Stable margins corresponding to different

由图8可知,不同末导时间对制导系统失稳时间影响不大。干扰力矩为弹簧力矩时,从S点提取制导信号时,制导系统失稳时间随着Kx的增大而迅速增大,并且当Kx增大到一定值时,制导系统在整个末导时间内无法满足稳定条件,因此在制导系统不失稳的情况下,可以通过延长末导时间推迟失稳时刻;而从C点提取制导信号时,Kx对制导系统失稳时间影响不大,并且系统稳定时间大于S点。干扰力矩为阻尼力矩时，制导系统稳定边界的变化规律与弹簧力矩时相似,只是从S点提取制导信号时,系统失稳时间随着Kx的增大先略有减小而后迅速增大。

图9 制导系统稳定域Fig.9 Stable margins of guidance system

4 隔离度幅值限幅计算方法

导引头隔离度会使制导系统提前失稳,并且隔离度模型不同所引起的寄生回路正负反馈情况不同,制导系统稳定时对隔离度幅值的约束也不同,而在导引头总体设计中需要对隔离度幅值指标进行估算。本节基于制导系统满足一致渐进稳定的条件,给出不同隔离度模型隔离度幅值指标,可以为工程师在进行导引头隔离度总体指标设计时提供一种计算参考方法。

图10 临界DRRTF增益Fig.10 Critical gain of DRRTF

tuns246弹簧力矩S点0.3%2.0%2.7%C点3.9%5.7%6.1%阻尼力矩S点1.7%2.0%2.1%C点9.9%10.0%10.1%

5 结 论

GSDRR不仅与导引头控制系统特性有关,同时也与制导信号提取点及干扰力矩类型密切相关,DRRTF模型不同,其引起的寄生回路对制导系统稳定性的影响不同。本文基于时变系统的Lyapunov稳定性理论提出了制导系统的一致渐进稳定性,利用无源性方法分析了不同导引头隔离度模型对比例导引制导系统一致渐进稳定性的影响,研究结果表明:从S点提取制导信号时隔离度寄生回路为正反馈,制导系统满足稳定性对末导时间及隔离度幅值指标的约束较C点严格;末导时间一定时,稳定飞行时间要求越长,对弹簧力矩引起的隔离度幅值指标约束相比于阻尼力矩更加严苛。