主动再制造设计下制造/再制造博弈模型研究

夏西强,朱庆华

(1.郑州大学商学院,河南郑州450001;2.上海交通大学安泰经济与管理学院,上海200030);

1 引 言

进入21世纪,环境恶化、资源短缺等问题越来越突出.再制造作为资源节约和环境保护的有效手段,逐渐受到企业的重视和应用.通过再制造实践,企业认识到如果在产品设计阶段考虑主动再制造设计1主动再制造设计(下面简称“再制造设计”)的概念:指产品设计阶段对产品的再制造性进行考虑,并提出再制造性的指标和要求,使得产品在寿命末端具有良好的再制造性[1].,则可以显著提高再制造效益[2].Steinhilper等[3]认为在产品设计阶段就考虑产品的再制造性,能够显著提高产品在寿命末端的再制造能力,设计阶段可以决定产品的2/3的再制造性.Magrab等[4]认为再制造设计有利于原始制造商进行产品检测、清洗、组装和维修.Wang等[5]把再制造分为三个阶段:回收–生产–销售,在生产阶段面临的主要问题之一是原始制造商与再制造商如何承担再制造设计费用,以使原始制造商选择再制造设计,也即如果进行再制造设计,再制造设计费用应由原始制造商承担还是再制造商承担?同时,再制造设计带给原始制造商的收益大还是再制造商的收益大?基于上述问题,本文建立了再制造设计下原始制造商与再制造商博弈模型,对比分析了由原始制造商承担再制造设计费用和由再制造商承担再制造设计费用两种情况下,单位再制造节约成本和单位再制造设计努力程度给两种产品带来的单位收益对再制造产品边界回收率、单位零售价格、销售量及销售利润的影响.

目前,国内外关于再制造设计对原始制造商与再制造商市场竞争关系的研究主要有Gray等[6]以打印机为例研究得到再制造设计不仅可以提高废旧产品的拆解效率,还可以增加再制造商和原始制造商的边际效益,但是原始制造商为了减弱再制造产品带来的市场竞争,在产品设计初期,对墨盒使用焊接技术,以增加其再制造生产成本.Orsdemir等[7]建立了原始制造商与再制造商博弈模型,基于此模型,考虑了原始制造商如何通过产品质量设计来影响双方的市场竞争,不仅得到了新产品与再制造产品在市场竞争中存在的条件，还分析了质量高低对环境、消费者剩余和社会剩余的影响.Wu[8]基于原始制造商再制造设计策略(易于再制造设计与不易于再制造设计)建立了原始制造商与再制造商博弈模型,研究得到了再制造设计是原始制造商协调与再制造商竞争的有效策略.进一步,Wu[9]基于原始制造商再制造设计(易于再制造设计与不易于再制造设计)与再制造商价格策略(高价策略与低价策略)建立了博弈模型,分析了不同策略对新产品与再制造产品市场竞争的影响.

综上,可以看出再制造设计对再制造商与原始制造商市场竞争关系影响的研究已经取得了很大的成就,但是再制造设计费用由谁支付或者如何分担,是促进再制造设计的根本问题,还未见文献发表.基于此,本文建立了原始制造商与再制造商博弈模型,解决如下问题:一是原始制造商与再制造商愿意承担再制造设计费用的边界是什么?二是再制造设计收益对原始制造商与再制造商市场竞争(主要表现在单位销售价格、销售量及销售利润)的影响如何?通过解决上述两个问题,以期为原始制造商和再制造商如何合作促进再制造设计提供决策依据.

2 原始制造商与再制造博弈模型

本文基于再制造设计,建立了一个原始制造商与一个再制造商的博弈模型.原始制造商只生产新产品,决策变量是新产品的单位零售价格;再制造商只生产再制造产品,决策变量是再制造产品的单位零售价格.原始制造商与再制造商追求的都是各自利润最大化,具体见图1.此博弈模型考虑了由原始制造商承担再制造设计费用和由再制造商承担再制造设计费用两种情况,对比分析了再制造设计努力程度对两种产品单位零售价格、销售量及销售利润的影响.

c表示生产单位新产品的成本;λ表示废旧产品的回收率;pn表示单位新产品的零售价格;pr表示单位再制造产品的零售价格;πOEM表示原始制造商的销售利润;πr表示再制造商的销售利润;k表示再制造设计努力程度系数;qn表示新产品的需求量,是原始制造商决策变量;qr表示再制造产品的需求量,是再制造商决策变量;s表示与新产品相比,生产单位再制造产品,所节省的成本;δn表示单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益,则δn＞0;δr表示单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益,则δr＞0;δ表示在消费者心目中,单位再制造产品的价格与单位新产品的价格比值,则0≤δ≤1;τ表示再制造不进入市场时,再制造设计努力程度,是原始制造商的决策变量;τr表示再制造商承担再制造设计费用时,再制造设计努力程度,是再制造商的决策变量;τOEM表示原始制造商承担再制造设计费用时,再制造设计努力程度,是原始制造商的决策变量;λr表示再制造商承担再制造设计费用时,废旧产品的回收率边界值,随两种产品需求变化而变化;λOEM表示原始制造商承担再制造设计费用时,废旧产品的回收率边界值,随两种产品需求变化而变化.

图1 再制造设计下原始制造商与再制造商博弈示意图Fig.1 Game schematic bewteen OEM and remanufacturer based on design for remanufacturing

借鉴文献[10,11],再制造产品不进入市场、再制造产品进入市场且原始制造商承担再制造设计费用、再制造产品进入市场且再制造商承担再制造设计费用,再制造设计费用分别为

借鉴文献[12,13]假设单位产品的零售价格与需求量满足如下关系pn=1−qn−δqr,pr=δ(1−qn−qr).由此可得

2.1 再制造产品不进入市场

再制造不进入市场时,市场上只存在新产品.不考虑再制造设计成本,原始制造商销售单位新产品获得的利润等于单位零售价格减去单位新产品的生产成本再加上因再制造设计获得收益,也即pn−c+τδ.由此可得销售产品数量为qn时获得的利润为(pn−c+τδ)qn.最终利润减去再制造设计的费用,也即(pn−c+τδ)qn−kτ2.由此,可得原始制造商的模型如下.

容易证明,式(1)中的πOEM是关于pn,τ的凹函数.因此,根据式(1)可得最优解

借鉴文献[10],为了使下面的讨论有意义(需求量为非负),首先给出下面的假设1和假设2.

假设1再制造产品不进入市场,原始制造商承担再制造设计费用时

假设2再制造产品进入市场,原始制造商承担再制造设计费用时k(4−δ)2＞(2δn−δr)2;再制造产品进入市场,再制造商承担再制造设计费用时kδ(4−δ)2＞(2δr−δδn)2.

由上述最优解可以得到原始制造商不进行再制造设计时(用下标Nn表示)最优单位零售价格、销售量及销售利润为=(1−c)/2,=(1+c)/2,=(1−c)2/4.

结论1在再制造商不进入市场时,再制造设计对单位零售价格、销售量及销售利润的影响

证明由引理1可知,＞0,也即原始制造商选择进行再制造设计.在此情况下,可得=δnτ/2＞0,=−δnτ/2＜0,(1−c)2/(4k(4k−＞0.证毕.

结论1说明,当再制造商不进入市场时,再制造设计可以降低单位新产品的零售价格、增加新产品的销售量及销售利润.原因是:一是可以缩短产品的维修时间,进而提高消费者对新产品的使用满意度;二是通过再制造设计可以优化了产品的结构,提高产品的质量;三是由于再制造设计提高了产品和零部件的再利用,因此降低了单位产品的零售价格[4].

当再制造产品进入市场且原始制造商进行再制造设计时,不仅可以给原始制造商带来益处,还能给再制造商带来益处.因此,需要考虑原始制造商与再制造商分别在哪种情况下更愿意承担再制造设计的费用.下面两个小节将具体给出分析.

2.2 原始制造商承担再制造设计费用

当再制造商进入市场时,再制造产品与新产品存在市场竞争关系.由于新产品的生产原材料不受限制,因此,新产品可以根据市场需求生产足够的产品来满足市场需求,而再制造产品的生产首先要进行废旧产品的回收,也即再制造产品的需求要受到废旧产品回收量的限制.类似于3.1节,可得原始制造商与再制造商的模型如下

本文采用文献[8,13]的决策顺序:原始制造商首先决定再制造设计的努力程度,接着原始制造商和再制造决策各自产品的单位零售价格.求解时,采用逆序的方法,原始制造商和再制造商先决策各自产品的单位零售价格,最后原始制造商再决策再制造设计努力程度.为了得到最优值,首先给出如下引理.

推论1式(2)中的πOEM和式(3)中的πr分别是关于qn和qr的凹函数.通过式(2)和式(3)求解得到的最优解代入式(2)后,πOEM关于τOEM是凹函数.

证明对式(2)中的πOEM关于qn求二阶偏导可得=−2＜0,故πOEM关于qn是凹函数.

式(3)的拉格朗日函数为

其中m为拉格朗日乘子且m＞0.

式(4)的K-T条件为

下面分两种情况证明推论1.

情况1当λ或λ时由式(5)的m(λqn−qr)=0可知,当λ或λ时,m=0.

这时式(4)关于qr求二阶偏导数为−2δ＜0,即式(4)关于qr是凹函数.从而联立式(2)和式(4)可以解得qn,qr的最优解.

对式(2)关于qn求解一阶偏导数可得

对式(4)关于qr求解一阶偏导数可得

联立式(6)和式(7)可得如下最优解

把上述最优解代入式(2)可得

由假设2可知式(8)关于τOEM的二次项系数为负,式(8)关于τOEM是凹函数.即情况1时推论1成立.

情况2当λ=qr/qn时,即qr=λqn时,式(2)等价于

易证式(9)中的πOEM关于qn是凹函数.类似可证式(4)关于qr是凹函数.令式(9)中πOEM关于qn的一阶偏导数为0,解得最优值将代入式(9)得到的函数关于τOEM是凹函数.即情况2成立.证毕.

针对情况1,根据实际市场供需关系,当λ＞qr/qn时,废旧产品的回收数量大于再制造产品市场的需求量,这时,再制造商会对回收的废旧产品进行部分再制造;当λ＜qr/qn也即废旧产品的回收量不能满足市场需求,这时,再制造商对回收的废旧产品全部进行再制造以满足市场需求,即是是倍数关系.因此,当λ＜qr/qn这一情况可以看作λ=qr/qn时的一个特殊情况.故下面分λ＞qr/qn和λ≤qr/qn两种情况进行最优解的求解.通过对情况2的求解可以得到最优值

再根据式(5)中的δ(1− qn− qr)− c+s+ δrτOEM− δqr− m=0,可解得

由推论1,求解式(2)和式(3)可得如下最优解

2.3 再制造商承担再制造设计费用

类似2.1节和2.2节,可得如下的决策模型.

类似2.2节可知,式(10)中的πOEM和式(11)中的πr分别关于qn和qr是凹函数.将式(10)和式(11)的最优解代入式(11)后,式(11)中的πr是关于τr的凹函数.由此,可得如下最优解

结论2当再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,δn和δr对再制造设计的努力程度影响:

证明当再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,由可知,当2时,＜0,τr＞0;当时,＞0,τr＜0;当时,证毕.

结论2说明,当再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,再制造设计的努力程度与δn和δr相关.也即当再制造设计带给单位再制造产品的收益与单位新产品收益之比大于2时且原始制造商承担再制造设计费用时,原始制造商选择不易于再制造的产品设计;而再制造商承担再制造设计费用时,原始制造商会选择易于再制造的产品设计.当再制造设计带给单位再制造产品的收益与单位新产品收益之比小于δ/2且原始制造商承担再制造设计费用时,原始制造商选择易于再制造的产品设计.当再制造设计带给单位再制造产品的收益与单位新产品收益之比在(δ/2,2)时,无论原始制造商或者再制造商承担再制造设计费用,原始制造商都会选择易于再制造的产品设计.

通过结论2分析，可以得到推论2,也即原始制造商与再制造商愿意承担再制造设计费用的边界.

推论21)当δr/δn＜δ/2时,原始制造商愿意承担再制造设计费用,再制造商不愿意承担再制造设计费用且原始制造商始终选择利于再制造的设计;2)当δr/δn＞2时,原始制造商不愿意承担再制造设计费用,再制造商愿意承担再制造设计费用且即使再制造商承担再制造设计费用,原始制造商选择不利于再制造的设计;3)当δ/2＜δr/δn＜2时,原始制造商与再制造商都愿意承担再制造设计费用,且无论那一方承担再制造设计费用,原始制造商始终选择易于再制造的设计.

结论3当δ/2＜δr/δn＜2时,单位再制造产品节省成本对再制造设计努力程度、销售量、单位零售价格及销售利润的影响:

1)原始制造商承担再制造设计费用:

当 λ ＞ λOEM时,＞0;

当0＜δn＜时,否则,

当λ≤ λOEM时,

2)再制造商承担再制造设计费用:

当λ＞λr时

当 λ ≤ λr且 2k(λδ+2)2+2δδn(δn− δr)λ2+2λδn(δδn− 2δr)＞ 0 时,待定.

证明1)当λ＞λOEM时,

同理可证2)成立.证毕.

结论3说明,当原始制造商承担再制造设计费用且再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,再制造设计努力程度、新产品的需求量与单位再制造节约的成本成反比;单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益再制造产品的需求量及销售利润与单位再制造节约成本成正比,当时,再制造产品的需求量及销售利润与单位再制造节约成本成反比;也即只有单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益不能足够大,如果足够大,会减少再制造产品的销售量及销售利润;新产品的需求量只有在时,与单位再制造节约成本成正比,否则,成反比;新产品的销售利润与单位再制造节约成本成反比.再制造产品的需求受到废旧产品回收量限制时,再制造设计的努力程度、两种产品的单位零售价格、销售量及新产品的销售利润与单位再制造节约的成本无关,再制造产品的销售利润与单位再制造节约成本成正比.

当再制造商承担再制造设计费用时:当再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,再制造产品的需求量及销售利润与单位再制造节约成本成正比,两种产品的单位零售价格与单位再制造节约成本成反比;只有当单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益时,新产品的需求量及销售利润才与单位再制造设计节约成本成正比,否则,成反比.也即,只有单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益足够大时,再制造设计才有利于提高新产品的销售量及销售利润.

结论4再制造设计努力程度对两种产品的零售价格、销售价格及销售利润的影响:

1)当再制造产品的需求量不受废旧产品回收量限制时,

2)当再制造产品的需求量受到废旧产品回收量限制时,与情况有相同的结果.

证明1)由可得

故可得如下结论:

结论4说明,无论原始制造商或再制造商承担再制造设计费用,再制造设计都会降低两种产品的单位零售价格.当再制造设计带给再制造商的收益与带给新产品收益之比大于2时:无论原始制造商或再制造商承担再制造设计费用,新产品的销售量与再制造设计努力程度成反比,再制造产品的需求量的与再制造设计努力程度成正比;原始制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度无关,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度成正比;再制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度成反比,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度无关.

当再制造设计带给再制造商的收益与带给新产品收益之比小于δ/2时,无论原始制造商或再制造商承担再制造设计费用,新产品的销售量与再制造设计努力程度成正比,再制造产品的需求量的与再制造设计努力程度成反比;原始制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度无关,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度成反比;再制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度成正比,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度无关.

当再制造设计带给再制造商的收益与带给新产品收益之比在(δ/2,2)时:无论原始制造商或再制造商承担再制造设计费用,新产品的销售量与再制造设计努力程度成正比,再制造产品的需求量的与再制造设计努力程度成正比;原始制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度无关,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度成正比;再制造商承担再制造设计费用时,新产品的销售利润与再制造设计努力程度成正比,再制造产品的销售利润与再制造设计努力程度无关.

结论5当δ/2＜δr/δn＜2且原始制造商承担再制造设计费用时,δn对再制造设计努力程度、两种产品的需求量及零售价格的影响:

1)当λ＞λOEM时,

2)当λ≤λOEM时,

证明1)

类似于1)可以证明2)成立.证毕.

结论5说明,原始制造商承担再制造设计费用时:当再制造产品的需求不受废旧产品回收量限制时,新产品的再制造设计努力程度及销售量与δn成正比,两种产品的单位零售价格与δn成反比;再制造设计带给再制造商的收益与带给新产品收益之比大于4δ/(4+δ)时,再制造产品的需求量与δn成正比.当再制造产品的需求受到废旧产品回收量限制时,新产品的再制造设计努力程度及两种产品的销售量与δn成正比,两种产品的单位零售价格与δn成反比.

3 实例研究

为了详细分析再制造产品不受废旧产品回收量限制时,再制造设计给单位新产品/再制造产品带来的收益对再制造设计努力程度、废旧产品边界回收率、两种产品的单位零售价格、销售量及销售利润的影响,本文以再制造发动机为例进行数值仿真.根据文献[14,15]可知，单位再制造发动机的生产成本是单位新产品的生产成本的50%,单位再制造发动机的销售价格是单位新产品销售价格的50%∼70%.鉴于此,本文取c=0.2,s=0.1,δ=0.6.借鉴文献[8],取k=1.1.

3.1 δn与δr对再制造设计努力程度及边界回收率的影响

图2和图3分别描述了δn与δr对再制造设计努力程度和边界回收率的影响

图2 δn与δr对再制造设计努力程度的影响Fig.2 The influence of δnand δron the degree of desiging for remanufacturing

由图2可知,当原始制造商承担再制造设计费用时,再制造设计努力程度与单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益成正比,与单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益成反比.当再制造商承担再制造设计费用时,再制造设计努力程度与单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益成反比,与单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益成正比.

图3 δr与δn对边界回收率的影响Fig.3 The influence of δrand δnon the boundary recovery rate

由图3可知,当原始制造商承担再制造设计费用时,当δn一定,λOEM先随δr增大达到最大时,然后随δr增大而减小；当δr一定,λOEM先随δn增大而增大且δr的值越小λOEM随δn变化趋势越缓慢.再制造商承担再制造设计费用时,边界回收率与单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益成正比,与单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益成反比.

3.2 δn与δr对单位产品零售价格及需求量的影响

δn与δr对单位产品零售价格及需求量的影响如图4所示.

由图4可知,当再制造商承担再制造设计费用时,两种产品的单位零售价格与单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益成反比,与单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益成正比.两种产品的需求量关于δr都在某一点(不同产品的需求量不同)达到最大;当时,两种产品的需求与成正比,与成反比;当时,两种产品的需求与δr成反比,与δn成正比.

3.3 δn与δr对销售利润的影响

δn与δr对销售利润的影响如图5所示.

图5 δn与δr对销售利润的影响Fig.5 The influence of δnand δron the sales profit

由图5可知,无论再制造设计费用由原始制造商承担还是再制造商承担,δn和δr对原始制造商和再制造商销售利润的影响变化趋势一致.再制造商的销售利润与再制造设计带给单位再制造产品的收益成正比,与带给单位新产品的收益成反比.而新产品的销售利润变化趋势和新产品销售量变化趋势一致.

4 结束语

本文基于再制造设计时,建立了原始制造商和再制造商博弈模型.考虑了原始制造商承担再制造设计费用和再制造商承担再制造设计费用两种情况,对比分析了两种情况下,单位再制造设计努力程度给单位新产品带来的收益和单位再制造设计努力程度给单位再制造产品带来的收益对再制造设计努力程度废旧产品边界回收率、单位零售价格、销售量及销售利润的影响.主要得到了如下结论:

1)在再制造不进入市场时,原始制造商选择再制造设计,不仅能降低单位新产品的零售价格,还能增加新产品的销售量及销售利润,也即再制造设计有利于原始商.

2)在再制造产品进入市场时且再制造产品能满足市场需求时,无论那一方承担再制造设计费用,原始制造商会根据再制造设计带给两种产品的收益比,来决策是否进行再制造设计,也即原始制造商在再制造设计中处于主导地位.因此,只要再制造设计带给再制造商与原始制造商的收益之比大于δ/2且小于2时,再制造商要选择承担再制造设计费用,这时,原始制造商更愿意选择易于再制造的设计,最终促进再制造产业的发展.

3)当再制造产品不能满足市场需求时,无论原始制造商或再制造商承担再制造设计费用,原始制造商都会选择易于再制造的设计.因此,再制造商要根据再制造产品的市场供需关系选择是否承担再制造设计费用.