二次函数的图像和性质

王成娟

【摘要】我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数确定了（可以用待定系数法确定a、b、c的值），它的图像和性质也就决定了；反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质，也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。

【中图分类号】O122 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）03-0288-02

二次函数在初中数学函数教学中的地位非常重要，又是学生难于掌握的教材内容.它既联系着一元一次方程、一元一次不等式，又是解决极值应用题的必要基础.《二次函数》教学的重点为二次函数的图像的性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图像的关系.因此，必须想方设法使学生理解和掌握函数的图像和性质.

一、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的系数a、b、c及其意义

1.二次项系数a及其意义。二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向，（当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，其开口向下），它还决定开口的大小。也就是说，当二次函数a的绝对值相同时，这些抛物线的形状完全相同，反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）可以由抛物线y=ax2（a≠0）平行移动得到。2.常数项c的意义。对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当x=0时，y=c，即抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）总是经过（0，c）。当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；当c<0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；当c=0时，抛物线经过原点。反过来，当抛物线与时，抛物线经过原点。反过来，当抛物线与y轴的交点坐标已知时，其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。

二、给出习题让学生解：

二次函数y=2xy+bx+c与y轴的交点为（0，3），图像的顶点A的坐标是（2，-1）。

1.求这个二次函数图像与x轴两个交点间的距离；

2.将此图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个新的二次函数的图像，求新的二次函数的解析式；

3.设新的二次函数的顶点为C，若以A为圆心，AC为半径画圆，与y轴交于点B，D，求Cos∠BAD的值.很多学生能利用已知条件画出草图，进行分析，从而能迅速得出：

（1）由题意：①a·0+b·0+c=3②-b/2a=2③（4ac-b）/4a=-1，并解得a=1，b=-4，c=3，顺利地写出了解析式y=xy-4x+3.

还有部分学生能根据条件：顶点坐标设出了y=a（x-2）-1的函数关系式，再以（0，3）代入即得a=1，得函数式y=（x-2）-1=x-4x+3.学生还能灵活地运用因式分解法把以上函数式写成y=（x-3）（x-1）的形式，从而找到了函数图像与x轴两个交点的横坐标，于是交点间的距离显而易见，为|3-1|=2.

（2）把函数式写成y=（x-2）-1后再按条件平移，实际上只要把顶点A（2，-1）向左平移2个单位，向上平移1个单位，得新的顶点坐标为C（0，0），也就不难得到新的函数解析式为y=x。

（3）以A为圆心，AC为半径画圆，则BD=2，AB=AD=BD，∴Cos∠BAD=3/5。

三、二次函數的对称性与系数

由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形，故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的，只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此，当已知一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。

1.关于两坐标轴对称

（1）关于x轴对称

求与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称的抛物线解析式时，由对称性可知，它们的形状完全一致，只是开口方向相反，与y轴的交点坐标由原来的（0，c）变为它关于x轴的对称点（0，-c）。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c（a≠0）。这里的二次项系数a，一次项系数b和常数项c）正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。

（2）关于y轴对称

求抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称的抛物线的解析式，这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样，也就是二次项系数和常数项不变，只是对称轴由原来的直线x=-y变成了直线x=y也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一次项系数互为相反数，故与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）。

2.关于抛物线的顶点对称的抛物线

求抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于其顶点对称的抛物线的解析式，这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致，只是开口方向相反，故所求的抛物线解析式为：

y=-a（x+y）2+x=-a-bx+y

例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。

简析：抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，其顶点坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为：y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5

四、二次函数图像的形状、位置与系数的范围

由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。

例6已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点A（1，0）和点B（b，0），（点B在点A的右侧）。与y轴交于点C（0，2），请说明a、b、c的乘积是正还是负？

简析：由题意，-x>0所以a、b异号，又因为函数图像与y轴交于点（0，2），所以c=2>0，所以a、b、c的乘积是负数。

总之，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切，加强二次函数的字母系数的研究，对探讨二次函数的图像性质大有裨益。